1 等差数列 （PA）は シーケンス 各項が比率と呼ばれる定数による前の項の合計である数値。 それらは存在します 数式 PAの期間を決定し、その合計を計算します 番号 最初の用語。
計算に使用される式 用語の合計 有限PAまたはの合計 番号 PAの最初の用語は次のとおりです。
s番号 = で1 +番号)
2
* nはBP用語の数です。 ザ・1 は最初の用語であり、番号 最後です。
PAの条件の合計の起源
ドイツの数学者カール・フリーデリッヒ・ガウスは、約10歳で、学校の授業で罰せられたと言われています。 先生は生徒たちに、に表示されるすべての数字を合計するように言いました。 シーケンス 1から100まで。
ガウスは非常に短い期間で最初にフィニッシュしただけでなく、正しい結果を得た唯一の人物でもありました（5050）。 さらに、計算は表示されませんでした。 彼がしたことは、次の資産を修理することでした。
有限PAの極値から等距離にある2つの項の合計は、極値の合計に等しくなります。
についての知識はありませんでした PAN 当時、ガウスは数字のリストを見て、最初から最後までを足すと101になることに気づきました。 最後から2番目に2番目を追加すると、結果も101などになります。 用語のすべてのペアの合計として 等距離 極端なもののうち101に達した場合、ガウスはその数に使用可能な項の半分を掛けるだけで5050の結果を見つけることができました。
数字の1から数字の100まで、正確に100の数字があることに注意してください。 ガウスは、それらを2つずつ追加すると、101に等しい50の結果が得られることに気づきました。 したがって、この乗算は全項の半分で行われました。
PAの条件の合計のデモンストレーション
この偉業は、計算に使用される式を生み出しました の合計 番号 PAの最初の用語. この式に到達するために使用される戦術は次のとおりです。
与えられたもの PAN いずれにせよ、最初のn項を追加します。 数学的には、次のようになります。
s番号 =1 +2 +3 +…+n – 2 +n-1 +番号
このすぐ下 用語の合計、 前のものと同じ用語で、しかし減少する意味で、別のものを書きます。 最初の項の合計は、2番目の項の合計に等しいことに注意してください。 したがって、両方ともSと同等でした番号.
s番号 =1 +2 +3 +…+n – 2 +n-1 +番号
s番号 =番号 +n-1 +n – 2 +…+3 +2 +1
これらの2つの式は単一の式から取得されたことに注意してください PAN そして、等距離の項が垂直に整列していること。 したがって、次の式を追加して取得できます。
s番号 =1 +2 +3 +…+n – 2 +n-1 +番号
+ s番号 =番号 +n-1 +n – 2 +…+3 +2 +1
2S番号 =（1 +番号）+（a2 +n-1）+…+（an-1 +2）+（a番号 +1)
極値から等距離にある項の合計は、極値の合計に等しいことに注意してください。 したがって、次に行うように、各括弧は極値の合計に置き換えることができます。
2S番号 =（1 +番号）+（a1 +番号) +... +（1 +番号）+（a1 +番号)
ガウスのアイデアは、シーケンスの等距離の項を追加することでした。 だから彼はから半分の用語を手に入れました PAN 結果101で。 初期BPの各項が等距離の値に追加され、その値が維持されるようにしました。 用語の数. したがって、PAにはn個の項があるため、上記の式の合計を乗算によって変更し、 方程式 見つけるには：
2S番号 =（1 +番号）+（a1 +番号) +... +（1 +番号）+（a1 +番号)
2S番号 = n（a1 +番号)
s番号 = で1 +番号)
2
これはまさに、を追加するために使用される式です。 番号 PAの最初の用語。
例
P.A（1、2、3、4）が与えられた場合、最初の100項の合計を決定します。
解決:
用語aを見つける必要があります100. このために、 一般的な用語の式 PAの：
ザ・番号 =1 +（n – 1）r
ザ・100 = 1 + (100 – 1)1
ザ・100 = 1 + 99
ザ・100 = 100
ここで、最初のn項を合計する式は次のとおりです。
s番号 = で1 +番号)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
ルイス・パウロ・モレイラ
数学を卒業
ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm
