あ 応援する これは、加算、減算、乗算、除算、乗算と同様の数学演算です。 減算が加算の逆演算であり、除算が乗算の逆演算であるのと同じように、放射は増強の逆演算です。 したがって、実数の正の x と y、および整数 n (2 以上) の場合、n に累乗された x が y に等しい場合、y の n 乗根は x に等しいと言えます。 数学的表記では次のようになります。 \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
こちらもお読みください:分数の増強と放射 — どのように行うか?
root化についてのまとめ
放射線は数学的な演算です。
放射と増強は逆演算です。つまり、正の x と y の場合、 \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
数値 y の n 乗根を計算することは、x を n 乗したものが y に等しくなるような数値 x を見つけることを意味します。
ルートの読み取りはインデックス n に依存します。 n = 2 の場合は平方根、n = 3 の場合は立方根と呼ばれます。
部首を使用した演算では、同じインデックスを持つ用語を使用します。
放射線には、計算を容易にする重要な特性があります。
root化に関するビデオレッスン
ルートの表現
発根を表すには、 関係する 3 つの要素を考慮する必要があります: ラジカンド、インデックス、ルート。 象徴 \(√\) ラジカルといいます。
\(\sqrt[n]{y}=x\)
この例では、 y は基数、n はインデックス、x は根です. 「y の n 乗根は x」と表示されます。 x と y は正の実数を表し、n は 2 以上の整数を表します。 n = 2 の場合、インデックスは省略できることに注意することが重要です。 したがって、たとえば、 \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
分数指数をもつラジカンドを使用して放射を表すことができます。. 正式には、次の n 乗根と言います。 \(y^m\) y の小数点以下のべき乗として書くことができます \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
例を参照してください。
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
放射性と増強の違い
増強と放射線 逆算術演算です. これは、次のことを意味します。 \(x^n=y\)、 それから \(\sqrt[n]{y}=x\). 難しそうですか？ いくつかの例を見てみましょう。
もし \(3^2=9\)、 それから \(\sqrt[2]{9}=3\).
もし \(2^3=8\)、 それから \(\sqrt[3]{8}=2\).
もし \(5^4=625\)、 それから \(\sqrt[4]{625}=5\).
根の読み方は？
ルートを読み取るには、 インデックスを考慮する必要があります n. n = 2 の場合、 私たちはそれを平方根と呼びます. n = 3 の場合、それを立方根と呼びます。 の値については、 n それより大きい場合は、序数の命名法を使用します。つまり、4 乗根 (n = 4 の場合)、5 乗根 (n = 5 の場合) などです。 いくつかの例を参照してください。
\(\sqrt[2]{9}\) – 9の平方根。
\(\sqrt[3]{8}\) – 8の立方根。
\(\sqrt[4]{625}\) – 625 の 4 番目の根。
数値の根を計算するにはどうすればよいですか?
以下では、正の実数の根を計算する方法を見ていきます。 数値の根を計算するには、関連する逆演算を考慮する必要があります。 つまり、数値 y の n 乗根を探す場合、次のような数値 x を探す必要があります。 \(x^n=y\).
y の値 (つまり、ラジカンド) に応じて、このプロセスは単純になる場合もあれば、面倒な場合もあります。 数値の根を計算する方法の例をいくつか見てみましょう。
例 1:
144の平方根は何ですか?
解決：
探している番号を x と呼びます。つまり、 \(\sqrt{144}=x\). これは、次のような数値 x を探すことを意味することに注意してください。 \(x^2=144\). 自然数を使っていくつかの可能性をテストしてみましょう。
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
したがって、 \(\sqrt{144}=12\).
例 2:
100の立方根は何ですか?
解決：
探している番号を x と呼びます。つまり、 \(\sqrt[3]{100}=x\). この意味は \(x^3=100\). いくつかの可能性をテストしてみましょう。
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
次のように、4 と 5 の間の数値を探していることに注意してください。 \(4^3=64\) それは \(5^3=125\). そこで、4 から 5 までの数値を使用していくつかの可能性をテストしてみましょう。
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
として \(4,6^3 \) が 100 に近いかそれ未満の数値である場合、4.6 は 100 の立方根の近似値であると言えます。 したがって、 \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
重要：ルートが有理数の場合、ルートは正確であると言います。 そうしないと、ルートは正確ではなくなります。 上の例では、検索されたルートが見つかる正確なルート間の範囲を決定します。
\(\sqrt[3]{64}
\(4
この戦略は、根の近似値を計算するのに非常に役立ちます。
根号を使った演算
部首を使用した演算では、同じインデックスを持つ用語を使用します。 これを考慮して、以下の情報をよくお読みください。
→ 根号間の足し算と引き算
根号間の加算または減算を解決するには、各根号の根を個別に計算する必要があります。
例:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
重要： 根号を加算および減算演算することはできません。 たとえば、次のような操作があることに注意してください。 \(\sqrt4+\sqrt9\) 結果は異なる数になります \(\sqrt{13}\)、 たとえ \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ 根号間の掛け算と割り算
根号間の乗算または除算を解決するには、各根号の根を個別に計算できますが、以下で説明する放射のプロパティを使用することもできます。
例:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
放射線の性質は何ですか?
→ 放射線の性質１
y が正の数の場合、次の n 乗根 \(y^n\) はyに等しい。
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
例を参照してください。
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
このプロパティは、部首を含む式を簡略化するために広く使用されています。
→ 放射線の性質２
積の n 乗根 \(y⋅z\) は、y と z の n 乗根の積に等しい。
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
例を参照してください。
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
重要： 大きな数の根を計算するときに非常に便利です ラジカンドを素数に因数分解する (分解する) そしてプロパティ 1 と 2 を適用します。 計算する次の例を参照してください。 \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
このような、
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ 物件3発根の
商のn乗根 \(\frac{y}z\)、 と \(z≠0\), y と z の n 乗根の商に等しい。
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
例を参照してください。
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ 放射線の性質4
y の n 乗根を m 乗したものは、次の n 乗根と等しくなります。 \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
例を参照してください。
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
こちらもご覧ください: 増強の特性は何ですか?
放射線に関する演習問題を解決しました
質問1
(FGV) 簡略化 \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), 得られるもの:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
解決：
代替案 C.
放射特性を使用すると、次のようになります。
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
したがって、ステートメントの式を次のように書き換えることができます。
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
用語を置く \(\sqrt3\) 証拠から、私たちは次のように結論付けます
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
質問2
(Cefet) 得られた積の平方根が 45 になるように、0.75 という数字に何をかけるべきですか?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
解決：
代替案 A.
求める数字は x です。 したがって、声明によれば、
\(\sqrt{0.75⋅x}=45\)
したがって、
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0.75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
