私たちは方法を知っています 多項式 類似していない単項式の代数和を示す式、つまり、多項式は 1 代数式 単項式間. 単項式は、係数とリテラル部分を持つ代数項です。
多項式間に類似の項がある場合、次のことを実行できます。 その条件の削減 2つの多項式の加算および/または減算。 分配法則を介して2つの多項式を乗算することも可能です。 除算は、キー方式を使用して実行されます。
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単項式とは何ですか？
多項式が何であるかを理解するには、最初に単項式の意味を理解することが重要です。 代数式は、次の場合に単項式として知られています。 数字と文字とその指数 乗算によってのみ分離されます。 数値は係数と呼ばれ、文字とその指数はリテラル部分と呼ばれます。
例:
2x²→2は係数です。 x²は文字通りの部分です。
√5ax→√5は係数です。 axは文字通りの部分です。
b³yz²→1は係数です。 b³yz²は文字通りの部分です。
多項式とは何ですか？
多項式は他に何もありません 単項式の代数和つまり、それらは互いに加算または減算することによって分離された単項式です。
例:
ax²+ by + 3
5c³d– 4ab +3c²
-2ab + b – 3xa
一般的に言えば、多項式はいくつかの項を持つことができ、代数的に次のように表されます。
ザ・番号バツ番号 +（n-1） バツ（n-1） +…+2x²+ a1x + a
も参照してください： 多項式のクラスは何ですか？
多項式の次数
多項式の次数を見つけるために、変数が1つしかない場合と、変数が多い場合の2つのケースに分けてみましょう。 多項式の次数は次の式で与えられます。 両方の場合でその単項式の最大の程度.
変数が1つしかない多項式を使用することは非常に一般的です。 それが起こるとき、 O より大きな単項式 程度 程度を示します 多項式の 変数の最大指数に等しい：
例:
単一変数多項式
a）2x²–3x³ + 5x – 4→変数はxであり、最大の指数は3であるため、これは次数3の多項式であることに注意してください。
b）2年5 + 4y²– 2y + 8→変数はyで、最大の指数は5なので、これは次数5の多項式です。
多項式の単項式に複数の変数がある場合、この項の次数を見つけるには、次数が必要です。
追加-もし 各変数の指数の次数。 したがって、この場合、多項式の次数は最大の単項式の次数と同じですが、各単項式の変数の指数を追加するように注意する必要があります。例:
a）2xy + 4x²y³– 5y4
各用語の文字通りの部分を分析するには、次のことを行う必要があります。
xy→グレード2（1 + 1）
x²y³→次数5（2 + 3）
y³→グレード3
最大の項は次数5であるため、これは次数5の多項式であることに注意してください。
b）8a²b-ab+2a²b²
各単項式の文字通りの部分を分析する：
a²b→グレード3（2 + 1）
ab²→次数2（1 + 1）
a²b²→グレード4（2 + 2）
したがって、多項式の次数は4です。
多項式の加法
に 2つの多項式間の加算、実行しましょう 同様の単項式の削減. 2つの単項式は、リテラル部分が等しい場合は類似しています。 これが発生すると、多項式を単純化することができます。
例:
P（x）=2x²+ 4x + 3およびQ（x）= 4x²– 2x +4とします。 P（x）+ Q（x）の値を見つけます。
2x²+ 4x + 3 +4x²-2x+ 4
同様の用語（同じリテラル部分を持つ）を見つける：
2x² + 4倍 + 3 + 4x² – 2倍 + 4
次に、同様の単項式を追加しましょう。
（2 + 4）x² + （4-2）x + 3 + 4
6x²+ 2x +7
多項式の減算
減算は加算と大差ありません。 重要な詳細はそれです まず、反対の多項式を書く必要があります 同様の用語の簡略化を実行する前に。
例:
データ：P（x）=2x²+ 4x + 3およびQ（x）=4x²-2x+ 4。 P（x）– Q（x）を計算します。
多項式-Q（x）はQ（x）の反対であり、Q（x）の反対を見つけるには、各項の符号を逆にするだけなので、次のことを行う必要があります。
-Q（x）=-4x²+ 2x – 4
次に、以下を計算します。
P（x）+（-Q（x））
2x²+ 4x +3-4x²+ 2x-4
同様の用語を単純化すると、次のようになります。
（2-4）x²+（4 + 2）x +（3-4）
-2x²+ 6x +（-1）
-2x²+ 6x – 1
多項式の乗法
2つの多項式の乗算を実行するには、既知の 分配法則 2つの多項式の間で、最初の多項式の単項式と2番目の多項式の単項式の乗算を操作します。
例:
P（x）=2a²+ bおよびQ（x）=a³+ 3ab +4b²とします。 P（x）・Q（x）を計算します。
P（x）・Q（x）
（2a²+ b）（a³+ 3ab +4b²）
分配法則を適用すると、次のようになります。
2a²・a³+2a²・3ab +2a²・4b²+ b・a³+ b・3ab + b・4b²
2位5 +6a³b+8a²b²+a³b+3ab²+4b³
ここで、それらが存在する場合、同様の用語を簡略化できます。
2位5 + 6a³b +8a²b²+ ab +3ab²+4b³
類似の単項式のみがオレンジ色で強調表示され、それらの間が簡略化されていることに注意してください。答えとして次の多項式があります。
2位5 + （6 + 1）a³b +8a²b²+3ab²+4b³
2位5 +7a³b+8a²b²+3ab²+4b³
また、アクセス： 代数的分数の乗算を行う方法は？
多項式の除算
を実行します 多項式の除算 かなり面倒なことがあります、私たちはいわゆるものを使用します キーメソッド、しかしこれにはいくつかの方法があります。 2つの多項式の除算 除数の次数が小さい場合にのみ可能です. 多項式P（x）を多項式D（x）で除算することにより、次のような多項式Q（x）を探します。
したがって、除算アルゴリズムにより、次のようになります。P（x）= D（x）・Q（x）+ R（x）。
P（x）→配当
D（x）→分周器
Q（x）→商
R（x）→剰余
除算を操作するとき、剰余がゼロの場合、多項式P（x）は多項式D（x）で割り切れます。
例:
多項式P（x）=15x²+ 11x + 2を多項式D（x）= 3x +1で割って操作してみましょう。
共有したい：
（15x²+ 11x + 2）：( 3x + 1）
最初のステップ： 被除数の最初の単項式を除数の最初の単項式で分割します。
15x²：3x = 5x
2番目のステップ： 5x・（3x + 1）=15x²+ 5xを掛け、P（x）の結果を引きます。 減算を実行するには、乗算結果の符号を反転して、多項式を見つける必要があります。
3番目のステップ： 減算結果の最初の項を除数の最初の項で除算します。
6x：3x = 2
4番目のステップ：つまり、（15x²+ 11x + 2）：( 3x + 1）= 5x +2です。
したがって、次のことを行う必要があります。
Q（x）= 5x + 2
R（x）= 0
あまりにも読んでください： Briot-Ruffiniの実用的なデバイス–多項式の除算
解決された演習
質問1 - 多項式P（x）=（m²– 9）x³+（m + 3）x²+ 5x + mの次数が2になるように、mの値はどうあるべきですか？
A）3
B）-3
C）±3
D）9
E）-9
解決
代替案A
P（x）の次数が2であるためには、x³の係数がゼロに等しく、x²の係数がゼロとは異なる必要があります。
だから私たちはします：
m²-9= 0
m²= 9
m =±9
m =±3
一方、m + 3≠0であることがわかります。
したがって、m≠-3です。
したがって、最初の方程式の解としてm = 3またはm = -3がありますが、2番目の方程式ではm≠-3であるため、P（x）の次数が2になる唯一の解は次のとおりです。 = 3。
質問2 - （IFMA 2017）図の周囲は多項式で書くことができます：
A）8x + 5
B）8x + 3
C）12 + 5
D）12x + 10
E）12x + 8
解決
代替案D
画像から、与えられた長さと幅を分析すると、周囲がすべての辺の合計であることがわかります。 長さと高さは同じなので、与えられた多項式の合計に2を掛けるだけです。
2・（2x + 1 + 4x + 4）= 2・（6x + 5）= 12x + 10
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生