あ 球形キャップ そしてその 幾何学的な立体 球が平面によって遮断され、2 つの幾何学的立体に分割されるときに得られます。 球形キャップは、球と同様に丸い形状をしているため、円形本体とみなされます。 球形キャップの面積と体積を計算するには、特定の公式を使用します。
こちらもお読みください: 円錐の幹 - 底面に平行な断面を作成したときに円錐の底部によって形成される幾何学的立体
球面キャップについてのまとめ
- 球形キャップは、球を平面で分割したときに得られる幾何学的立体です。
- 球形キャップの主な要素は、球の半径、球形キャップの半径、および球形キャップの高さです。
- 球状のキャップは多面体ではなく、丸い体です。
- 平面が球を半分に分割すると、球形のキャップは半球を形成します。
- 次のように構成されたピタゴラスの定理を使用して、球形キャップの半径を計算することができます。
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
- 球形キャップの面積は、次の式を使用して計算できます。
\(A=2\pi rh\ \)
- 球形キャップの体積は、次の式を使用して計算できます。
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\left (3r-h\right)\)
球状キャップとは何ですか？
球形キャップ の断面を切り出したときに得られる幾何学的立体です。 ボール 一般 フラット. 球を平面で切断すると、この球は 2 つの球形のキャップに分割されます。 球を半分に分割したとき、球形のキャップは半球として知られています。
球状キャップ要素
球形キャップの主な要素は、球の半径、球形キャップの半径、および球形キャップの高さです。
- R → 球の半径。
- r → 球面キャップの半径。
- h → 球形キャップの高さ。
球状のキャップは多面体ですか、それとも円体ですか?
キャップが幾何学的な立体であることがわかります。 底面が円形で表面が丸いので、 球形のキャップは 丸い体、革命の固体としても知られています。. 言及する価値があるのは、 多面体 によって形成された面を持っています ポリゴン、これは球形キャップの場合ではありません。 丸.
球形キャップの半径を計算するにはどうすればよいですか?
球形キャップの半径の長さを計算するには、 球形のキャップの高さ h と球の半径 R の長さを知る必要があります。, 次の画像でわかるように、ピタゴラスの関係があるためです。
があることに注意してください。 直角三角形、三角形 OO’B、斜辺は R、脚は R – h および r を測定します。 を適用すると、 ピタゴラスの定理、 するべき：
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
例：
球の半径が 5 cm であるとすると、高さ 2 cm の球形のキャップの半径はいくらですか?
解決：
ピタゴラスの関係を適用すると、次のようになります。
\(\left (R-h\right)^2+r^2=R^2\)
\(\左 (5-2\右)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
球形キャップの面積を計算するにはどうすればよいですか?
球形のキャップの面積を計算するには、 球の半径 R とキャップの高さ h の長さの測定値を知る必要があります。. 表面積の計算に使用される式は次のとおりです。
\(A=2\pi Rh\)
- R → 球の半径。
- h → 球形キャップの高さ。
例：
半径 6 cm、高さ 4 cm の球から球形キャップが得られました。 それでは、この球形のキャップの表面積はいくらでしょうか?
解決：
球形キャップの面積を計算すると、次のようになります。
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
球形キャップの体積はどうやって計算するのですか？
球形キャップの体積 2つの方法で計算できます. 最初の式は、球の半径 R と高さ h に依存します。
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
例：
半径8cmの球、球冠の高さ6cmから求めた球冠の体積はいくらか。
解決：
R と h の値はわかっているので、最初の式を使用します。
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\left (3 R-h\right)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\left (3\cdot8-6\right)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\left (24-6\right)\)
\(V=12\pi\left (18\right)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
もう 1 つの球形キャップの体積公式では、球形キャップの半径 r とキャップの高さ h が考慮されます。
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
例：
半径10cm、高さ4cmの球形のかさの体積はいくらですか?
解決：
この場合、r = 10 cm、h = 4 cmとなります。 球形キャップの半径と高さの値がわかっているので、2 番目の式を使用します。
\(V=\frac{\pi h}{6}\left (3r^2+h^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3{\cdot10}^2+4^2\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (3\cdot100+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (300+16\right)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\left (316\right)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\約210.7\ \pi\ cm³\)
こちらもご覧ください: ピラミッドの幹 - 断面をとったときにピラミッドの底部によって形成される幾何学的立体
球形キャップに関する演習を解決しました
質問1
（エネム）子供たちのパーティーのテーブルを飾るために、シェフはさまざまなお菓子を串に刺すための支柱として機能する直径10センチの球形のメロンを使用します。 図に示すように、彼はメロンから球形のキャップを取り外し、このサポートの安定性を保証するために、 メロンがテーブルの上を転がりにくいように、シェフは円形の切り口の半径rが少なくとも マイナス3センチ。 一方、上司は、お菓子を配置する地域にできるだけ広い面積を確保したいと考えます。
すべての目的を達成するために、シェフはメロンの上部を高さ h (センチメートル) で切らなければなりません。
A) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
C) 1
D) 4
E) 5
解決：
オルタナティブC
球の直径は 10 cm であることがわかっているので、その半径は 5 cm、したがって OB = 5 cm となります。
セクションの半径がちょうど 3 cm の場合、次のようになります。
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
青 = \(\sqrt{16}\)
AO = 4cm
したがって：
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
質問2
球形のキャップの面積は 144π cm² です。 半径が 9 cm であることがわかると、この球形のキャップの高さは次のようになります。
A) 8cm
B) 10cm
C) 14cm
D) 16cm
E) 22cm
解決：
代替案A
私達はことを知っています：
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
高さは8cmです。
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ著
数学の先生
ソース： ブラジル学校 - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
