複素数の研究では、次の等式に出くわします。2 = – 1.
この等式の正当化は、通常、負の平方根を持つ2次方程式を解くことに関連しています。これはエラーです。 式iの起源2 = – 1は複素数の定義に現れますが、これも多くの疑問を引き起こします。 そのような平等の理由とそれがどのように生じるのかを理解しましょう。
まず、いくつかの定義を作成しましょう。
1. 実数（x、y）の順序対は、複素数と呼ばれます。
2. 複素数（x1y1）および（x2y2）は、xの場合にのみ等しい1 = x2 およびy1 = y2.
3. 複素数の加算と乗算は、次のように定義されます。
（バツ1y1）+（x2y2）=（x1 + x2y1 + y2)
（バツ1y1）*（バツ2y2）=（x1*バツ2 -y1* y2、 バツ1* y2 + y1*バツ2)
例1。 zを検討する1 =（3、4）およびz2 =（2、5）、zを計算する1 + z2 およびz1* z2.
解決：
z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1* z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
3番目の定義を使用すると、次のことを簡単に示すことができます。
（バツ1、0）+（x2、0）=（x1 + x2, 0)
（バツ1、0）*（x2、0）=（x1*バツ2, 0)
これらの等式は、加算および乗算演算に関して、複素数（x、y）が実数のように動作することを示しています。 このコンテキストでは、次の関係を確立できます：（x、0）= x。
この関係と記号iを使用して複素数（0、1）を表すと、次のように任意の複素数（x、y）を記述できます。
（x、y）=（x、0）+（0、1）*（y、0）= x + iy→これは複素数の正規形の呼び出しです。
したがって、通常の形式の複素数（3、4）は3 + 4iになります。
例2。 次の複素数を通常の形式で記述します。
a）（5、-3）= 5-3i
b）（– 7、11）= – 7 + 11i
c）（2、0）= 2 + 0i = 2
d）（0、2）= 0 + 2i = 2i
ここで、iを複素数（0、1）と呼んでいることに注意してください。 i2を作成するとどうなるか見てみましょう。
i =（0、1）であり、i2 = i * i。 それに従ってください：
私2 = i * i =（0、1）*（0、1）
定義3を使用すると、次のようになります。
私2 = i * i =（0、1）*（0、1）=（0 * 0 – 1 * 1、0 * 1 + 1 * 0）=（0 – 1、0 + 0）=（– 1、0 ）
前に見たように、（x、0）= xの形式のすべての複素数。 したがって、
私2 = i * i =（0、1）*（0、1）=（0 * 0 – 1 * 1、0 * 1 + 1 * 0）=（0 – 1、0 + 0）=（– 1、0 ）= –1。
私たちは有名な平等に到着しました2 = – 1.
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マルセロ・リゴナット
統計と数理モデリングのスペシャリスト
ブラジルの学校チーム
複素数 - 数学 - ブラジルの学校
