一 近似平方根 の有限表現です 無理数. 多くの場合、作業を行う場合、 平方根、計算には小数点以下の桁数を含む推定値で十分です。
電卓はこのプロセスにおいて重要なツールです。 表示スペースが限られているため、不正確な平方根の適切な近似が示されます。 ただし、以下で説明するように、電卓を使わずにこれらの推定値を求めることもできます。
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近似平方根の概要
不正確な平方根は無理数です。
不正確な平方根の近似値を見つけることができます。
近似の精度は、使用される小数点以下の桁数によって異なります。
近似は、計算機を使用するなど、さまざまな方法で実行できます。
x の平方根に対する y の近似値を求めることは、y² が x に非常に近いが、y² が x に等しくないことを意味します。
近似平方根に関するビデオ レッスン
近似平方根はどのように計算しますか?
さまざまな方法があります 平方根の近似値を計算します。 その一つが電卓です！ たとえば、次のように書くとき、 \(\sqrt{2}\) 電卓で「=」をクリックすると、得られる数値は近似値です。 同じことが当てはまります \(\sqrt{3}\) それは \(\sqrt{5}\)、これも非正確な平方根、つまり無理数です。
別の方法は、調査された不正確な根に近い正確な根を使用することです。 これにより、10 進表現を比較し、不正確なルートの範囲を見つけることができます。 したがって、適切な近似値が見つかるまで、いくつかの値をテストできます。
難しそうに聞こえますが、心配しないでください。 それはテストプロセスです. いくつかの例を見てみましょう。
例
小数点以下 2 桁までの近似値を求めます。 \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
だと、わかる \(\sqrt{4}\) それは \(\sqrt{9}\) の最も近い正確な根です \(\sqrt{5}\). ラジカンドが大きいほど、平方根の値も大きくなることに注意してください。 したがって、次のように結論付けることができます。
\(\sqrt{4}
\(2
つまり、 \(\sqrt5\) は 2 から 3 までの数値です。
ここでテストを行います。2 と 3 の間でいくつかの値を選択し、それぞれの二乗数値が 5 に近づくかどうかを確認します。 (覚えておいてください \(\sqrt5=a\) もしも \(a^2=5\)).
わかりやすくするために、小数点以下 1 桁の数値から始めましょう。
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
小数点以下 1 桁まで数値の解析を続ける必要すらないことに注意してください。探している数値は 2.2 から 2.3 の間です。
\(2,2
ここで、小数点以下 2 桁の近似値を探しているので、テストを進めましょう。
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
ここでも、分析を停止できます。 探している数値は 2.23 から 2.24 の間です。
\(2.23
しかし、今は？ 小数点以下 2 桁のこれらの値のうち、近似値として選択するものはどれですか? \(\sqrt5\)? どちらも良い選択肢ですが、平方根が 5 に最も近い選択肢が最適であることに注意してください。
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
つまり、 \(2,24^2 \) よりも 5 に近いです \(2,23^2\).
したがって、小数点以下 2 桁までの最良の近似値は、 \(\sqrt5\) é 2,24. 私たちはそれを書きます \(\sqrt5≈2.24\).
小数点以下 2 桁までの近似値を求めます。 \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
前の例と同じ方法で開始できます。つまり、次のような正確なルートを探します。 ラジカンドは 20 に近いですが、ラジカンドの値を減らして、 アカウント:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
radicand 20 の分解を実行し、ルート化プロパティを使用したことに注意してください。
さてどうやって \(\sqrt20=2\sqrt5\)、小数点以下 2 桁の近似を使用して、 \(\sqrt5\) 前の例から:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4.48\)
観察: おおよその数値を使用しているため (\(\sqrt5≈2.24\))、値 4.48 は、小数点以下 2 桁の最良の近似値ではない可能性があります。 \(\sqrt{20}\).
こちらもお読みください: 数値の立方根を計算するにはどうすればよいですか?
近似平方根と正確な平方根の違い
正確な平方根は、 有理数. だと、わかる \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) それは \(\sqrt{121}\) は正確な平方根の例です。 \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) それは \(\sqrt{121}=11\). さらに、逆演算を適用すると (つまり、 増強 指数 2) を使用すると、ラジカンドが得られます。 前の例では、 \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) それは \(11^2=121\).
不正確な平方根は無理数です (つまり、小数点以下の桁数が無限に繰り返されない数値)。 したがって、10 進数表現では近似値を使用します。 だと、わかる \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) それは \(\sqrt6\) は不正確なルートの例です。 \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) それは \(\sqrt6≈2.44949\). さらに、逆演算 (つまり、指数 2 による増強) を適用すると、ラジカンドに近い値が得られますが、等しくない値が得られます。 前の例では、 \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) それは \(2,44949^2=6,00000126\).
近似平方根に関する演習を解決しました
質問1
次の数字を昇順に並べます。 \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
解決
だと、わかる \(\sqrt{150}\) は不正確な平方根であり、 \(\sqrt{144}\) 正確です (\(\sqrt{144}=12\)). したがって、次の位置を特定するだけで済みます。 \(\sqrt{150}\).
ご了承ください \(13=\sqrt{169}\). ラジカンドが大きいほど平方根の値も大きくなると考えると、次のようになります。
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
したがって、数字を昇順に並べると、
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
質問2
次の選択肢のうち、数値の小数点以下 1 桁を含む最良の近似値はどれですか \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
e) 8.1
解決
オルタナティブC
ご了承ください \(\sqrt{49}\) それは \(\sqrt{64}\) は最も近い正確な平方根です \(\sqrt{54}\). として \(\sqrt{49}=7\) それは \(\sqrt{64}=8\)、 するべき
\(7
小数点以下 1 桁での近似の可能性をいくつか見てみましょう。 \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
テストを続行する必要はないことに注意してください。 また、代替案の中で、7.3 が小数点第 1 位の最良の近似値です。 \(\sqrt{54}\).
マリア・ルイザ・アウベス・リッツォ
数学の先生
ソース： ブラジル学校 - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm