対称行列 は 本部 各要素 \(a_{ij}\) 要素に等しい \(a_{ji}\) i と j のすべての値について。 したがって、すべての対称行列はその転置と等しくなります。 すべての対称行列は正方形であり、主対角線が対称軸として機能することにも言及する価値があります。
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対称行列に関する要約
対称行列では、 \(a_{ij}=a_{ji}\) すべての私とjのために。
すべての対称行列は正方形です。
すべての対称行列はその転置と等しくなります。
対称行列の要素は主対角線に関して対称です。
対称マトリックス内にいる間 \(a_{ij}=a_{ji}\) すべての i と j について。 反対称行列では、 \(a_{ij}=-a_{ji}\) すべての私とjのために。
対称行列とは何ですか?
対称行列とは、 正方行列 \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) すべての i とすべての j に対して. この意味は \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\)、など、i と j のすべての可能な値について。 i の可能な値は行列の行に対応し、j の可能な値は行列の列に対応することに注意してください。
対称行列の例
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
非対称行列の例 (次のことを考えてください) \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
重要： 行列が対称ではないということは、次のことを示すことを意味します \(a_{ij}≠a_{ji}\) 少なくとも一部の i と j については (前の例を比較するとわかります)。 これは、後で説明する反対称行列の概念とは異なります。
対称行列の性質は何ですか?
すべての対称行列は正方行列です
対称行列の定義は正方行列に基づいていることに注意してください。 したがって、すべての対称行列には、列の数と同じ数の行があります。
すべての対称行列はその転置に等しい
A が行列の場合、その 転置された (\(A^T\)) は、行が A の列であり、列が A の行である行列として定義されます。 したがって、A が対称行列の場合、次のようになります。 \(A=A^T\).
対称行列では、要素は主対角線に関して「反映」されます。
として \(a_{ij}=a_{ji}\) 対称行列では、主対角線より上の要素は下の要素の「反映」です。 対角線に対する対角線の（またはその逆）、主対角線が軸として機能するようにします。 対称.
対称行列と非対称行列の違いは何ですか?
A が対称行列の場合、 \(a_{ij}=a_{ji}\) 私たちが研究したように、すべての i とすべての j について。 反対称行列の場合は状況が異なります。 B が反対称行列の場合、 \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) すべての i とすべての j に対して.
これにより、次の結果が得られることに注意してください。 \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\)、 あれは、 主要な対角要素はゼロです. この結果、非対称行列の転置はその反対の行列に等しいことになります。つまり、B が非対称行列の場合、 \(B^T=-B\).
反対称行列の例
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
こちらもご覧ください: 単位行列 — 主な対角要素が 1 に等しく、残りの要素が 0 に等しい行列
対称行列に関する演習を解決しました
質問1
(ウニセントロ)
マトリックスの場合 \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) は対称であるため、xy の値は次のようになります。
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E)-6
解決：
代替案A
指定された行列が対称の場合、対称位置にある要素は等しいです (\(a_{ij}=a_{ji}\)). したがって、次のことを行う必要があります。
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
最初のものを置き換える 方程式 2 番目では、次のように結論付けます。 \(y=3\)、 すぐ：
\(x=2\) それは \(xy=6\)
質問2
(UFSM) マトリックスであることを知る \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) はその転置に等しい、の値 \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
解決：
オルタナティブC
指定された行列はその転置に等しいため、対称行列になります。 したがって、対称的な位置にある要素は等しい(\(a_{ij}=a_{ji}\))、つまり:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
最初の方程式により、 x=-6 また x=6. 3 番目の方程式により、正しい答えが得られます。 x= -6. 2 番目の方程式により、 y=11.
すぐ：
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
マリア・ルイザ・アウベス・リッツォ
数学の先生
ソース： ブラジル学校 - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm