一 近似平方根 の有限表現です 無理数. 多くの場合、作業を行う場合、 平方根、計算には小数点以下の桁数を含む推定値で十分です。
電卓はこのプロセスにおいて重要なツールです。 表示スペースが限られているため、不正確な平方根の適切な近似が示されます。 ただし、以下で説明するように、電卓を使わずにこれらの推定値を求めることもできます。
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この記事のトピックス
- 1 - 近似平方根に関するまとめ
- 2 - 近似平方根に関するビデオ レッスン
- 3 - 近似平方根はどのように計算されますか?
- 4 - 近似平方根と正確な平方根の違い
- 5 - 近似平方根に関する演習を解く
近似平方根の概要
不正確な平方根は無理数です。
不正確な平方根の近似値を見つけることができます。
近似の精度は、使用される小数点以下の桁数によって異なります。
近似は、計算機を使用するなど、さまざまな方法で実行できます。
x の平方根に対する y の近似値を求めることは、y² が x に非常に近いが、y² が x に等しくないことを意味します。
近似平方根に関するビデオ レッスン
近似平方根はどのように計算しますか?
さまざまな方法があります 平方根の近似値を計算します。 その一つが電卓です！ たとえば、次のように書くとき、 \(\sqrt{2}\) 電卓で「=」をクリックすると、得られる数値は近似値です。 同じことが当てはまります \(\sqrt{3}\) それは \(\sqrt{5}\)、これも非正確な平方根、つまり無理数です。
別の方法は、調査された不正確な根に近い正確な根を使用することです。 これにより、10 進表現を比較し、不正確なルートの範囲を見つけることができます。 したがって、適切な近似値が見つかるまで、いくつかの値をテストできます。
難しそうに聞こえますが、心配しないでください。 それはテストプロセスです. いくつかの例を見てみましょう。
例
小数点以下 2 桁までの近似値を求めます。 \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
だと、わかる \(\sqrt{4}\) それは \(\sqrt{9}\) の最も近い正確な根です \(\sqrt{5}\). ラジカンドが大きいほど、平方根の値も大きくなることに注意してください。 したがって、次のように結論付けることができます。
\(\sqrt{4}
\(2
つまり、 \(\sqrt5\) は 2 から 3 までの数値です。
ここでテストを行います。2 と 3 の間でいくつかの値を選択し、それぞれの二乗数値が 5 に近づくかどうかを確認します。 (覚えておいてください \(\sqrt5=a\) もしも \(a^2=5\)).
わかりやすくするために、小数点以下 1 桁の数値から始めましょう。
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
小数点以下 1 桁まで数値の解析を続ける必要すらないことに注意してください。探している数値は 2.2 から 2.3 の間です。
\(2,2
ここで、小数点以下 2 桁の近似値を探しているので、テストを進めましょう。
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
ここでも、分析を停止できます。 探している数値は 2.23 から 2.24 の間です。
\(2.23
しかし、今は？ 小数点以下 2 桁のこれらの値のうち、近似値として選択するものはどれですか? \(\sqrt5\)? どちらも良い選択肢ですが、平方根が 5 に最も近い選択肢が最適であることに注意してください。
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
つまり、 \(2,24^2 \) よりも 5 に近いです \(2,23^2\).
したがって、小数点以下 2 桁までの最良の近似値は、 \(\sqrt5\) é 2,24. 私たちはそれを書きます \(\sqrt5≈2.24\).
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小数点以下 2 桁までの近似値を求めます。 \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
前の例と同じ方法で開始できます。つまり、次のような正確なルートを探します。 ラジカンドは 20 に近いですが、ラジカンドの値を減らして、 アカウント:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
radicand 20 の分解を実行し、ルート化プロパティを使用したことに注意してください。
さてどうやって \(\sqrt20=2\sqrt5\)、小数点以下 2 桁の近似を使用して、 \(\sqrt5\) 前の例から:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4.48\)
観察: おおよその数値を使用しているため (\(\sqrt5≈2.24\))、値 4.48 は、小数点以下 2 桁の最良の近似値ではない可能性があります。 \(\sqrt{20}\).
こちらもお読みください: 数値の立方根を計算するにはどうすればよいですか?
近似平方根と正確な平方根の違い
正確な平方根は、 有理数. だと、わかる \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) それは \(\sqrt{121}\) は正確な平方根の例です。 \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) それは \(\sqrt{121}=11\). さらに、逆演算を適用すると (つまり、 増強 指数 2) を使用すると、ラジカンドが得られます。 前の例では、 \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) それは \(11^2=121\).
不正確な平方根は無理数です (つまり、小数点以下の桁数が無限に繰り返されない数値)。 したがって、10 進数表現では近似値を使用します。 だと、わかる \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) それは \(\sqrt6\) は不正確なルートの例です。 \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) それは \(\sqrt6≈2.44949\). さらに、逆演算 (つまり、指数 2 のべき乗) を適用すると、ラジカンドに近い値が得られますが、等しくない値が得られます。 前の例では、 \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) それは \(2,44949^2=6,00000126\).
近似平方根に関する演習を解決しました
質問1
次の数字を昇順に並べます。 \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
解決
だと、わかる \(\sqrt{150}\) は不正確な平方根であり、 \(\sqrt{144}\) 正確です (\(\sqrt{144}=12\)). したがって、次の位置を特定するだけで済みます。 \(\sqrt{150}\).
ご了承ください \(13=\sqrt{169}\). ラジカンドが大きいほど平方根の値も大きくなると考えると、次のようになります。
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
したがって、数字を昇順に並べると、
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
質問2
次の選択肢のうち、数値の小数点以下 1 桁を含む最良の近似値はどれですか \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
e) 8.1
解決
オルタナティブC
ご了承ください \(\sqrt{49}\) それは \(\sqrt{64}\) は最も近い正確な平方根です \(\sqrt{54}\). として \(\sqrt{49}=7\) それは \(\sqrt{64}=8\)、 するべき
\(7
小数点以下 1 桁での近似の可能性をいくつか見てみましょう。 \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
テストを続行する必要はないことに注意してください。 また、代替案の中で、7.3 が小数点第 1 位の最良の近似値です。 \(\sqrt{54}\).
マリア・ルイザ・アウベス・リッツォ
数学の先生
クリックして、ラジカンドを素因数に分解することで、不正確な根の計算をどのように行うことができるかを確認してください。
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