転置行列：それは何ですか、プロパティ、例

THE 転置行列 行列Mのは行列Mです^t. それは約です 本部 私たちが取得しようとしていること 行と列の位置を変更して行列Mを書き直すとき、Mの最初の行をMの最初の列に変換します^t、Mの2番目の列のMの2番目の行^t、 等々。

行列Mが m 行と 番号 列、その転置行列、つまりM^t、 番号 行と m 列。 転置行列には特定のプロパティがあります。

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転置行列はどのように取得されますか？

与えられた行列A_mxn、Aから行列Aに転置された行列として知られています^t_{n x m}. 転置された行列を見つけるには、位置を変更するだけです 行列Aの行と列の。 行列Aの最初の行が何であれ、転置された行列Aの最初の列になります^t、行列Aの2行目は、行列Aの2列目になります。^t、 等々。

代数的に、M =（m_ij)_mxn 、Mの転置行列はMです^t =（m_ji) _{n x m}.

例:

行列から転置された行列を見つけます。

行列Mは3x5行列であるため、その転置は5x3になります。 転置行列を見つけるために、行列Mの最初の行を行列Mの最初の列にします。^t.

行列Mの2行目は、転置行列の2番目の列になります。

最後に、行列Mの3番目の行は、行列Mの3番目の列になります。^t:

対称行列

転置行列の概念に基づいて、対称行列とは何かを定義することができます。 行列は対称として知られています 転置行列と等しい場合、つまり、行列Mが与えられると、M = M^t.

それが起こるために、 マトリックスは正方形である必要があります、これは、行列が対称であるためには、行の数が列の数と等しくなければならないことを意味します。

例:

分析するとき 主対角線より上の用語と主対角線より下の用語 行列Sの場合、次のような項があることがわかります。 それらは同じです、これは、主対角線に対する行列の対称性のために、対称として知られています。

行列Sの転置を見つけると、Sがわかります。^t Sに等しい。

S = Sとして^t、この行列は対称です。

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転置行列のプロパティ

転置行列のプロパティ

• 1番目のプロパティ： 転置された行列の転置は、行列自体と同じです：

（M^t)^t = M

• 2番目のプロパティ： 行列間の合計の転置は、各行列の転置の合計に等しくなります。

（M + N）^t = M^t + N^t

• 3番目のプロパティ： の転置 2つの行列間の乗算 各行列の転置の乗算に等しい：

（M・N）^t = M^t ・n^t

• 4番目のプロパティ： O 行列式 行列の行列式は転置行列の行列式に等しい：

det（M）= det（M^t)

• 5番目のプロパティ： 行列の転置と定数の積は、行列の転置と定数の積に等しくなります。

（kA）^t = kA^t

逆行列

逆行列の概念は転置行列の概念とはかなり異なり、それらの違いを強調することが重要です。 行列Mの逆行列は行列Mです。^-1, ここで、M行列とM行列の間の積^-1 単位行列に等しい。

例:

このタイプのマトリックスの詳細については、次のテキストを参照してください。 逆行列.

反対の行列

特別な行列の別のケースである、 行列Mの反対の行列は行列-Mです。 M =（m_ij）行列-M =（-m_ij). 反対の行列は、行列Mの反対の項で構成されています。

解決された演習

質問1 - （Cesgranrio）行列を考えてみましょう：

Aで表します^t Aの転置行列。 行列（A^tA）-（B + B^t) é:

解決

代替C

まず、行列Aを見つけます^t および行列B^t:

したがって、次のことを行う必要があります。

ここで、B + Bを計算します^t:

最後に、A・Aの差を計算します^t およびB + B^t:

質問2 - （Cotec –適応）与えられた行列AとBにA・Bを掛ける^t、 我々が得る：

解決

代替C

まず、Bの転置行列を見つけます。

行列AとBの間の積^t それは次と同じです：

ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-transposta.htm