正方形を完成させる方法は何ですか？

解決するために使用される手法の1つ 二次方程式 として知られている方法です 完全な正方形. この方法は、 方程式 の 2番目程度 として 完全な二乗三項式 因数分解されたフォームを作成します。 この簡単な手順で、方程式の根が明らかになることがあります。

したがって、についての基本的な知識を持っている必要があります 注目の商品, 三項式平方完璧 そして 多項式の因数分解 このテクニックを使用します。 ただし、多くの場合、「頭の中で」計算を行うことができます。

したがって、次の3つのケースを思い出します。 製品注目に値する デモンストレーションの前に 方法完了する正方形、これは、3つの異なるケースで公開されます。

優れた製品と完璧な二乗三項式

次に、注目すべき製品である 三項式平方完璧 それと形に相当します 因数分解 それぞれ、この三項式の。 そのためには、xが不明であり、 ザ・ は任意の実数です。

（x + k）² = x² + 2kx + k² =（x + k）（x + k）

（Xのk）² = x² – 2kx + k² =（x-k）（x-k）

3番目を参照する2次の方程式 製品注目に値する和と差の積として知られる、は、計算をさらに簡単にする手法を使用して解くことができます。 結果として、ここでは考慮されません。

方程式は完全な二乗三項式です

1つなら 方程式 の 2番目程度 は完全な二乗三項式である場合、その係数は次のように識別できます。 a = 1, b = 2k または – 2k そして c = k². これを確認するには、2次方程式を 三項式平方完璧.

したがって、ソリューションでは 方程式 の 2番目程度 バツ² + 2kx + k² = 0の場合、常に次のことを行う可能性があります。

バツ² + 2kx + k² = 0

（x + k）² = 0

√[（x + k）²] = √0

| x + k | = 0

x + k = 0

x = --k

– x – k = 0

x = --k

したがって、解は一意であり、–kに等しくなります。

場合 方程式 xになります² – 2kx + k² = 0、同じことができます：

バツ² – 2kx + k² = 0

（Xのk）² = 0

√[（x-k）²] = √0

| x – k | = 0

x-k = 0

x = k

– x + k = 0

– x = – k

x = k

したがって、解は一意であり、kに等しくなります。

例：のルーツは何ですか 方程式 バツ² + 16x + 64 = 0？

方程式は 三項式平方完璧、2k = 16であるため、k = 8、およびk² = 64、ここでk = 8。 だから私たちは書くことができます：

バツ² + 16x + 64 = 0

（x + 8）² = 0

√[（x + 8）²] = √0

x + 8 = 0

x = – 8

ここでは、2つの解が同じ実数に等しくなることがすでにわかっているため、結果が簡略化されています。

方程式は完全な二乗三項式ではありません

の場合 方程式 の 2番目程度 は完全な二乗三項式ではないため、次の仮説を考慮して結果を計算できます。

バツ² + 2kx + C = 0

この方程式が 三項式平方完璧、Cの値をkの値に置き換えるだけです². これは方程式なので、これを行う唯一の方法はkを追加することです² 両方のメンバーで、メンバー係数Cを交換します。 見る：

バツ² + 2kx + C = 0

バツ² + 2kx + C + k² = 0 + k²

バツ² + 2kx + k² = k² -Ç

この手順の後、前の手法に進み、 三項式平方完璧 注目に値する製品になり、両手足の平方根を計算します。

バツ² + 2kx + k² = k² -Ç

（x + k）² = k² -Ç

√[（x + k）²] =√（k² -Ç）

x + k =±√（k² -Ç）

±記号は、結果が 方程式 これらの場合、平方根の結果は次のようになるため、は平方根です。 モジュール、最初の例に示すように。 最後に、あとは次のことだけです。

x = – k±√（k² -Ç）

だから、これら 方程式 2つの結果があります リアル C> kの場合、明確であるか、実際の結果はありません².

例えば、xの根を計算します² + 6x + 8 = 0。

解決：6 = 2・3xであることに注意してください。 したがって、k = 3、したがってk² = 9. したがって、両方のメンバーに追加する必要がある数は9に等しくなります。

バツ² + 6x + 8 = 0

バツ² + 6x + 8 + 9 = 0 + 9

バツ² + 6x + 9 = 9-8

バツ² + 6x + 9 = 1

（x + 3）² = 1

√[（x + 3）²] = ± √1

x + 3 =±1

x =±1-3

x ’= 1 – 3 = – 2

x ’’ = – 1 – 3 = – 4

この場合、係数a≠1

係数が ザ・、与える 方程式 の 2番目程度、は1とは異なり、方程式全体を係数の数値で割るだけです。 ザ・ 次に、前の2つの方法のいずれかを適用します。

したがって、2x方程式では² + 32x + 128 = 0、8に等しい一意のルートがあります。理由は次のとおりです。

2倍²+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2

バツ² + 16x + 64 = 0

そして、3x方程式で² + 18x + 24 = 0、ルート– 2と– 4があります。理由は次のとおりです。

3倍² + 18倍 + 24 = 0
3 3 3 3

バツ² + 6x + 8 = 0

ルイス・パウロ・モレイラ
数学を卒業

ソース： ブラジルの学校- https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm