の因数分解 多項式 多項式を書き換えるために開発されたメソッドで構成されています 多項式間の積として。 多項式を次のように記述します 乗算 2つ以上の要素の間は、代数式を単純化し、多項式を理解するのに役立ちます。
ファクタリングにはさまざまなケースがあり、それぞれに特定の手法があります。. 既存のケースは次のとおりです。証拠の共通因子による因数分解、グループ化による因数分解、2つの二乗の差、完全な二乗三項式、2つの立方体の合計、および2つの立方体の差。
続きを読む：多項式とは何ですか？
多項式の因数分解に関する要約
多項式の因数分解は、多項式を多項式間の積として表すために使用される手法です。
この因数分解を使用して単純化します 代数式.
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因数分解のケースは次のとおりです。
証拠の共通因子による因数分解;
グループ化による因数分解;
完全な二乗三項式;
二乗の差;
2つの立方体の合計;
2つの立方体の違い.
多項式因数分解の場合
多項式を因数分解するには、 どの因数分解の場合に状況が当てはまるかを分析する必要があります、存在：証拠の共通因子による因数分解、グループ化による因数分解、2つの二乗の差、完全な二乗の三項式、2つの立方体の合計、および2つの立方体の差。 それぞれで因数分解を実行する方法を見てみましょう。
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証拠の公約数
多項式のすべての項に共通の因数がある場合は、この因数分解法を使用します. この共通の要因は1つの要因として強調表示され、もう1つの要因は 分割 その公約数による用語の内、括弧内に配置されます。
例1：
20xy +12x²+8xy²
この多項式の各項を分析すると、xがすべての項で繰り返されていることがわかります。 また、すべての係数（20、12、および8）は4の倍数であるため、すべての項に共通する係数は4xです。
各項を公約数で割ると、次のようになります。
20xy：4x = 5y
12x²：4x = 3x
8xy²：4x =2y²
ここで、共通因子を証拠に入れて因数分解を記述します。 和 括弧内にある結果の：
4x（5y + 3x +2y²）
例2：
2a²b²+ 3a³b– 4a5b³
各用語の文字通りの部分を分析すると、それらすべてでa²bが繰り返されていることがわかります。 2、3、および–4を同時に分割する数はないことに注意してください。 したがって、公約数はちょうどa²bになります。
2a²b²：a²b= 2b
3a³b：a²b= 3a
4位5b³：a²b=4a³
したがって、この多項式の因数分解は次のようになります。
a²b（2b + 3a +4a³）
も参照してください： 多項式の加算、減算、乗算—それらがどのように行われるかを理解する
グループ化
この方法は 多項式のすべての項に共通の因子がない場合に使用されます. この場合、共通の要素を持つグループ化できる用語を特定し、それらを強調表示します。
例：
次の多項式を因数分解します。
ax + 4b + bx + 4a
公約数としてaとbを持つ用語をグループ化します。
ax + 4a + bx + 4b
aとbを2つずつ証拠に入れると、次のようになります。
a（x + 4）+ b（x + 4）
括弧内の係数は同じであるため、この多項式を次のように書き直すことができます。
（a + b）（x + 4）
完全な二乗三項式
三項式は、3項の多項式です。 多項式は、次の場合に完全な二乗三項式として知られています。 二乗和または二乗差の結果、 あれは：
a²+ 2ab +b²=（a + b）²
a²– 2ab +b²=（a – b）²
重要：3つの項があるたびに、この多項式が完全な二乗三項式になるわけではありません。 したがって、因数分解を実行する前に、この場合に三項式が適合するかどうかを検証する必要があります。
例：
可能であれば、多項式を因数分解します
x²+ 10x + 25
この三項式を分析した後、 平方根 最初と最後の用語：
\（\ sqrt {x ^ 2} = x \）
\（\ sqrt {25} = 5 \）
中心項、つまり10xが等しいことを確認することが重要です。 \（2 \ cdot \ x \ cdot5 \）. それは確かに同じであることに注意してください。 したがって、これは完全な二乗三項式であり、次のように因数分解できます。
x²+ 10x + 25 =（x + 5）²
二乗の差
2乗の差がある場合、 この多項式を和と差の積として書き直すことで因数分解できます.
例：
多項式を因数分解します。
4x²–36y²
まず、各項の平方根を計算します。
\（\ sqrt {4x ^ 2} = 2x \）
\（\ sqrt {36y ^ 2} = 6y \）
ここで、この多項式を、見つかった根の和と差の積として書き直します。
4x²–36y² =（2x + 6y）（2x – 6y）
あまりにも読んでください： 単項式を含む代数計算—4つの演算がどのように発生するかを学びます
2つの立方体の合計
2つの立方体の合計、つまりa³+b³、 として因数分解することができます:
a³+b³=（a + b）（a²– ab +b²）
例：
多項式を因数分解します。
x³+ 8
8 =2³であることがわかっているので、次のようになります。
x³+ 8 =（x + 2）（x²-2x+2²）
x³+ 8 =（x + 2）（x²-2x+ 4）
2つの立方体の違い
2つの立方体の違い、つまりa³–b³、 2つの立方体の合計とは異なり、次のように因数分解できます。:
a³–b³ =（a – b）（a²+ ab +b²）
例：
多項式を因数分解する
8x³-27
私達はことを知っています：
8x³=（2x）³
27 = 3³
したがって、次のことを行う必要があります。
\（8x ^ 3-27 = \ left（2x-3 \ right）\）
\（8x ^ 3-27 = \ left（2x-3 \ right）\ left（4x ^ 2 + 6x + 9 \ right）\）
多項式の因数分解に関する解決済みの演習
質問1
代数式を単純化するための多項式因数分解の使用 \（\ frac {x ^ 2 + 4x + 4} {x ^ 2-4}、\）、私たちは見つけるでしょう：
a）x + 2
B）x-2
Ç） \（\ frac {x-2} {x + 2} \）
D） \（\ frac {x + 2} {x-2} \）
E）（x-2）（x + 2）
解決：
代替案D
分子を見ると、x²+ 4x + 4は完全な二乗三項式の場合であり、次のように書き直すことができます。
x²+ 4x + 4 =（x + 2）²
分子x²– 4は、2つの二乗の差であり、次のように書き直すことができます。
x²-4=（x + 2）（x-2）
したがって：
\（\ frac {\ left（x + 2 \ right）^ 2} {\ left（x + 2 \ right）\ left（x-2 \ right）} \）
x + 2という用語は分子と分母の両方に表示されるため、その簡略化は次のようになります。
\（\ frac {x + 2} {x-2} \）
質問2
（Unifil Institute）2つの数値xとyがx + y = 9およびx²–y² = 27であると考えると、xの値は次のようになります。
a）4
B）5
C）6
D）7
解決：
代替C
x²–y²は2つの二乗の差であり、合計と差の積として因数分解できることに注意してください。
x²–y² =（x + y）（x – y）
x + y = 9であることがわかっています：
（x + y）（x --y）= 27
9（x --y）= 27
x-y = 27：9
x-y = 3
次に、を設定できます 連立方程式:
2行を追加します。
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \（\ frac {12} {2} \）
x = 6
ラウル・ロドリゲス・デ・オリベイラ
数学の先生
