多項式：定義、操作、因数分解

多項式は、数値（係数）と文字（リテラル部分）によって形成される代数式です。 多項式の文字は、式の未知の値を表します。

例

a）3ab + 5
b）x³ + 4xy-2x²y³
c）25倍² -9年²

単項式、二項式、三項式

多項式は項で構成されています。 項の要素間の唯一の演算は乗算です。

多項式に項が1つしかない場合、それは 単項式.

例

a）3倍
b）5bc
c）x²y³z⁴

呼び出し 二項式 は、加算または減算演算によって分離された、2つの単項式（2つの項）のみを持つ多項式です。

例

a）から² -B²
b）3x + y
c）5ab + 3cd²

すでに 三項式 は、加算または減算演算で区切られた3つの単項式（3つの項）を持つ多項式です。

例s

a）x² + 3x + 7
b）3ab-4xy-10y
CM³n + m² + n⁴

多項式の次数

多項式の次数は、リテラル部分の指数によって与えられます。

多項式の次数を見つけるには、各項を構成する文字の指数を追加する必要があります。 最大の合計は、多項式の次数になります。

例

a）2x³ + y

第1項の指数は3で、第2項は1です。 最大は3なので、多項式の次数は3です。

b）4x²y + 8x³y³ -xy⁴

各項の指数を追加しましょう：

4倍²y => 2 + 1 = 3
8倍³y³ => 3 + 3 = 6
xy⁴ => 1 + 4 = 5

最大の合計が6であるため、多項式の次数は6です。

注意：ヌル多項式は、すべての係数がゼロに等しい多項式です。 これが発生した場合、多項式の次数は定義されません。

多項式を使用した演算

以下の多項式間の演算の例を参照してください。

多項式の加法

この操作は、同様の項（同じリテラル部分）の係数を追加することによって行います。

（-7x³ + 5x²y-xy + 4y）+（-2x²y + 8xy-7y）
-7倍³ + 5x²y-2x²y-xy + 8xy + 4y-7y
-7倍³ + 3x²y + 7xy-3y

多項式の減算

括弧の前のマイナス記号は、括弧内の記号を逆にします。 括弧を削除した後、同様の用語を追加する必要があります。

（4倍² -5xk + 6k）-（3x-8k）
4倍² -5xk + 6k-3xk + 8k
4倍² -8xk + 14k

多項式の乗法

乗算では、項を項ごとに乗算する必要があります。 等しい文字の乗算では、指数が繰り返されて加算されます。

（3倍² -5x + 8）。 （-2x + 1）
-6倍³ + 3x² + 10x² -5x-16x + 8
-6倍³ + 13x² -21x +8

多項式の除算

注意：多項式の除算では、キー法を使用します。 最初に数値係数間の除算を実行し、次に同じ底の累乗の除算を実行します。 これを行うには、基数を保持し、指数を減算します。

多項式の因数分解

実行するには 因数分解 多項式の場合、次の場合があります。

証拠の共通因子

ax + bx = x（a + b）

例

4x + 20 = 4（x + 5）

グループ化

ax + bx + ay + by = x。 （a + b）+ y。 （a + b）=（x + y）。 （a + b）

例

8ax + bx + 8ay + by = x（8a + b）+ y（8a + b）=（8a + b）。 （x + y）

パーフェクトスクエアトリノミアル（加算）

ザ・² + 2ab + b² =（a + b）²

例

バツ² + 6x + 9 =（x + 3）²

完全二乗三項式（差）

ザ・² --2ab + b² =（a --b）²

例

バツ² --2x + 1 =（x-1）²

2乗の差

（a + b）。 （a-b）= a² -B²

例

バツ² --25 =（x + 5）。 （x-5）

パーフェクトキューブ（追加）

ザ・³ +3位²b + 3ab² + b³ =（a + b）³

例

バツ³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3. バツ². 2 + 3. バツ。 2² + 2³ =（x + 2）³

パーフェクトキューブ（違い）

ザ・³ -3位²b + 3ab² -B³ =（a --b）³

例

y³ -9年² + 27y-27 = y³ - 3. y². 3 + 3. y。 3² - 3³ =（y-3）³

あまりにも読んでください：

• 注目の商品
• 注目すべき製品-演習
• 多項式関数

解決された演習

1）次の多項式を単項式、二項式、三項式に分類します。

a）3abcd²
b）3a + bc-d²
c）3ab-cd²

回答を参照してください

a）単項式
b）三項式
c）二項

2）多項式の次数を示します。

a）xy³ + 8xy + x²y
b）2x⁴ + 3
c）ab + 2b + a
d）zk⁷ -10z²k³w⁶ + 2x

回答を参照してください

a）グレード4
b）グレード4
c）グレード2
d）グレード11

3）下の図の周囲の値は何ですか：

回答を参照してください

図の周囲は、すべての辺を追加することによって求められます。
2倍³ + 4 + 2x³ + 4 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 = 8x³ + 12

4）図の領域を見つけます：

回答を参照してください

長方形の面積は、底辺に高さを掛けることによって求められます。
（2x + 3）。 （x + 1）= 2x² + 5x + 3

5）多項式を因数分解します

a）8ab + 2a²b-4b²
b）25 + 10y + y²
c）9-k²

回答を参照してください

a）共通の要因があるので、これらの要因を証拠に入れて除外します：2ab（4 + a-2b）
b）完全な二乗三項式：（5 + y）²
c）2乗の差：（3 + k）。 （3-k）

も参照してください： 代数式 そして 代数式の演習