複素数の演習：解決された質問とフィードバックのリスト

君は 複素数 のセットに解決策がない数学的問題を解決することを可能にします実数.

として書かれた複素数で $\ dpi {120} z = a + bi$ 、私たちはそれを言います $\ dpi {120}から$ 本当の部分です、 $\ dpi {120} b$ 虚数部であり、 $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ それは虚数単位です。

実行するには 複素数の演算、計算を簡単にする式がいくつかあります。検討する $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ そして $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

複素数間の加算式：

$\ dpi {120} z_1 + z_2 =（a + c）+（b + d）i$

複素数間の減算の表現：

$\ dpi {120} z_1-z_2 =（a-c）+（b-d）i$

複素数間の乗算の表現：

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 =（ac --db）+（ad + cb）i$

複素数間の除算の表現：

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {（ac + bd）} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {（bc-ad）} {c ^ 2 + d ^ 2 }私$

以下はのリストです 複素数の演習で解決された質問. これらの数字を含む各概念の使い方を学びましょう！

インデックス

複素数に関する演習のリスト
質問1の解決
質問2の解決
質問3の解決
質問4の解決
質問5の解決
質問6の解決
質問7の解決
質問8の解決

複素数に関する演習のリスト

質問1。 複素数を考慮する $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ そして $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ の値を決定します $\ dpi {120} A$ 、いつ $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

質問2。 の値を見つける $\ dpi {120} x$ そして $\ dpi {120} y$ そのような $\ dpi {120}（2 + xi）+（y-5i）= 3-i$ .

質問3。 複素数を考慮する $\ dpi {120} z_1 = -2-5i$ そして $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ 、の値を決定します $\ dpi {120} A \ cdot B$ 、いつ $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ そして $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

質問4。 の値を計算します $\ dpi {120} p$ そして $\ dpi {120} q$ 何のために $\ dpi {120} z_1：z_2 = q + 2i$ 、いつ $\ dpi {120} z_1 = 3-pi$ そして $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

質問5。 の値を決定します $\ dpi {120}から$ 何のために $\ dpi {120}（a + 3i）：( 3 + 2i）$ 純粋な虚数である。

質問6。 次の虚数単位の累乗を計算します $\ dpi {120} i$ :

） $\ dpi {120} i ^ {16}$
B） $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç） $\ dpi {120} i ^ {829}$
d） $\ dpi {120} i ^ {11475}$

質問7。 方程式の解を見つける $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ 複素数のセットで。

質問8。 方程式の解を決定します $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ 複素数のセットで。

質問1の解決

我々は持っています $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ そして $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ そして $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ の値を決定したい $\ dpi {120} A$ 、いつ $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

まず、計算してみましょう $\ dpi {120} 4z_3$ そして $\ dpi {120} 3z_1$ 、別々に：

$\ dpi {120} 4z_3 = 4。（-1 + 4i）= -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3.（2 + 3i）= 6 + 9i$

それでは計算してみましょう $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A =（2-5i）+（-4 + 16i）-（6 + 9i）$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A =（2-4-6）+（-5 + 16-9）i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

質問2の解決

xとyを見つけたいので $\ dpi {120}（2 + xi）+（y-5i）= 3-i$ .

2つの複素数の合計を表すことにより、次のことを行う必要があります。

$\ dpi {120}（2 + xi）+（y-5i）= 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow（2 + y）+（x-5）i = 3-i$

だから私たちは持っている必要があります $\ dpi {120}（2 + y）= 3$ そして $\ dpi {120}（x-5）i = -i$ . これらの2つの方程式を解いて、xとyを見つけましょう。

$\ dpi {120}（2 + y）= 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120}（x-5）i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

質問3の解決

我々は持っています $\ dpi {120} z_1 = -2-5i$ そして $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ の値を決定したい $\ dpi {120} A \ cdot B$ 、いつ $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ そして $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

まず、計算します $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A =（-2-5i）\ cdot（-2 + 5i）$

2つの複素数間の乗算を表現することにより、次のことを行う必要があります。

$\ dpi {120} A = [（-2）\ cdot（-2）-（-5）\ cdot 5] + [（-2）\ cdot 5 +（-5）\ cdot（-2）]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [-10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

それでは計算してみましょう $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B =（1 + 3i）\ cdot（1-3i）$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 \ cdot（-3）] + [1 \ cdot（-3）+1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [-3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

したがって、 $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

質問4の解決

の値を計算したい $\ dpi {120} p$ そして $\ dpi {120} q$ 何のために $\ dpi {120} z_1：z_2 = q + 2i$ 、いつ $\ dpi {120} z_1 = 3-pi$ そして $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

それは見つけることを意味します $\ dpi {120} p$ そして $\ dpi {120} q$ そのため：

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$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

2つの複素数の間の除算の表現により、次のことを行う必要があります。

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 +（-p）\ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ （-p）\ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3-2p} {5} + \ frac {（-p-6）} {5} i$

2つの条件を組み合わせると、次の条件が必要になります。

$\ dpi {120} \ frac {3-2p} {5} + \ frac {（-p-6）} {5} i = q + 2i$

つまり：

$\ dpi {120} \ frac {3-2p} {5} = q \：\：\ mathrm {e} \：\：\ frac {（-p-6）} {5} i = 2i$

pのみに依存する2番目の方程式から始めて、これらの方程式のそれぞれを解いてみましょう。

$\ dpi {120} \ frac {（-p-6）} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {（-p-6）} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p-6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

ここで、他の方程式によってqを見つけます。

$\ dpi {120} \ frac {3-2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3-2 \ cdot（-16）} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

質問5の解決

の価値を見つけたい $\ dpi {120}から$ 何のために $\ dpi {120}（a + 3i）：( 3 + 2i）$ 純粋な虚数である。

純粋な虚数は、実数部がゼロに等しい数です。

2つの複素数の間の除算の表現を考慮すると、次のようになります。

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3-a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

この数が純粋な虚数であるためには、次のものが必要です。

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

質問6の解決

累乗と複素数を定義することにより、次のことを行う必要があります。

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$