2つのベクトル間の角度


数学や物理学では、 ベクトル 彼らです 直線セグメント 方向、方向、長さで、力、速度、加速度などの量を表すために使用されます。

ベクトルは軌道を示し、座標系(x、y)を使用して定義できます。 点(0,0)をセグメントの原点として、次の図はベクトルを示しています。 \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}} その終わりがポイントです \ dpi {120} \ boldsymbol {\(x_1、y_1 \)}.

ベクター

表記: \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \(x_1、y_1 \)}.

叙階された \ dpi {120} \ boldsymbol {x_1} 水平成分と横座標と呼ばれます \ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}、垂直成分の。

ここで、ベクトルに加えて、考えてみましょう。 \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \(x_1、y_1 \)}、別のベクトル \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \(x_2、y_2 \)} 下の図に示すように、それらの間に形成される角度。

ベクトル間の角度

ベクトル間のこの角度は、ベクトル間の内積と各ベクトルのノルム(長さ)を含む式によって計算できます。

2つのベクトル間の角度

2つのベクトルサイコロ \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \(x_1、y_1 \)} そして \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \(x_2、y_2 \)}、角度の余弦 \ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta} それらの中で、次のように、ベクトルとそれらの標準の間の内部積に関連しています。

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \、\ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}、\ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |。\ | \ vec {v} \ | }}

分数の分子は、次の式で与えられるベクトル間の内積です。

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}、\ vec {v} \、\ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}

そして、分母は、次のように、各ベクトルの標準間の積です。

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\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1)^ 2+(y_1)^ 2}}
\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2)^ 2+(y_2)^ 2}}

交換することにより、 2つのベクトル間の角度式 é:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \、\ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1)^ 2 +(y_1)^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 ))^ 2 +(y_2)^ 2}}}

例:

ベクトル間の角度を計算します \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \(2,4 \)} そして \ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \(5,3 \)}.

数式の値を適用するには、次のことを行う必要があります:

\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \、\ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2)^ 2 +(4)^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 )^ 2 +(3)^ 2}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \、\ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \、\ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}
\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {-1} \ left(\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}

電卓または 三角関数表、私たちはそれを見ることができます:

\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}

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