余弦定理とは何ですか？

THE 余弦定理 です 三角関係 側面を関連付けるために使用され、 角度 1つに 三角形 いずれか、つまり、必ずしも直角であるとは限らない三角形。 メジャーが強調表示された次の三角形ABCに注意してください。

THE 法律から余弦定理 次のいずれかで与えることができます 式:

ザ・² = b² + c² –2・b・c・cosα

B² =² + c² –2・a・c・cosβ

ç² = b² +² –2・b・a・cosθ

観察：これらの3つの式を覚える必要はありません。 ただそれを知っている 法律から余弦定理 いつでも構築できます。 最初の式では、αは次の式で与えられる辺の反対側の角度であることに注意してください。 ザ・. 計算に使用される角度の反対側の正方形から式を開始します。 これは、他の2つの辺の二乗の合計から、この角度の反対側にない2つの辺の積の2倍を引いたものに等しくなります。 余弦 αの。

このようにして、上記の3つの式を次のように減らすことができます。

ザ・² = b² + c² –2・b・c・cosα

私たちが知っている限り、「」 は「α」の反対側の測定値であり、「b」と「c」は他の2つの側の測定値です。 三角形.

デモンストレーション

与えられた 三角形 次の図で強調表示されているメジャーを持つ任意のABC：

三角形ABCの​​高さBDによって形成される三角形ABDとBCDについて考えてみます。 を使用して ピタゴラスの定理 ABDでは、次のようになります。

ç² = x² + h²

H² = c² - バツ²

に同じ定理を使用する 三角形 BCD、次のようになります。

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ザ・² = y² + h²

H² =² -y²

あることを知っている² = c² - バツ²、次のようになります。

ç² - バツ² =² -y²

ç² - バツ² + y² =²

ザ・² = c² - バツ² + y²

の写真に注意してください 三角形 ここで、b = x + y、ここでy = b –xです。 以前に得られた結果にこの値を代入すると、次のようになります。

ザ・² = c² - バツ² + y²

ザ・² = c² - バツ² +（b-x）²

ザ・² = c² - バツ² + b² – 2bx + x²

ザ・² = c² + b² – 2bx

まだ図を見て、次のことに注意してください。

cosα= バツ
ç

c・cosα= x

x = c・cosα

この結果を前の式に置き換えると、次のようになります。

ザ・² = c² + b² – 2bx

ザ・² = c² + b² – 2b・c・cosα

これは、上記の3つの式の最初のものです。 他の2つは、これと同様に取得できます。

例 -で 三角形 次に、xの測度を計算します。

解決:

を使用して 法律から余弦定理、xは60°の角度の反対側の測定値であることに注意してください。 したがって、ソリューションに最初に表示される「番号」は次のようになります。

バツ² = 10² + 10² –2・10・10・cos60°

バツ² = 100 + 100 –2・100・cos60°

バツ² = 200-200・cos60°

バツ² = 200 – 200·1
2

バツ² = 200 – 100

バツ² = 100

x =±√100

x =±10

負の長さはないため、結果は正の値、つまりx = 10cmのみになります。

ルイス・モレイラ
数学を卒業

学校や学業でこのテキストを参照しますか？ 見てください：

シルバ、ルイス・パウロ・モレイラ。 "余弦定理とは何ですか？"; ブラジルの学校. で利用可能： https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm. 2021年6月27日にアクセス。