考えます 多項式 以下のすべての係数 ザ・番号整数です：
ザ・番号バツ番号 +n-1バツn-1 +n-2バツn-2 +…+2バツ2 +1x + a0 = 0
O 有理根定理 この方程式が有理数を認める場合、 P/何 ルートとして（ P
, 何 
そして mdc（p、q）= 1）、次に ザ・0 で割り切れる P そして ザ・番号 で割り切れる 何.
コメント：
1º) 有理根定理は、多項式が根を持っていることを保証するものではありませんが、根が存在する場合、定理は私たちが特定することを可能にします すべてのルーツ 方程式の;
2º) もし ザ・番号= 1 他の係数はすべて整数であり、方程式には整数の根しかありません。
3°) もし q = 1 そして有理根があります、これらは全体と除数です ザ・0.
有理根定理の適用：
定理を使用して、多項式のすべての根を見つけましょう 2倍4 + 5x3 –11倍2 – 20x + 12 = 0.
まず、この方程式の可能な有理根、つまり次の形式の根を特定しましょう。 P/何. 定理によれば、 ザ・0 で割り切れる P; このように、どのように ザ・0 = 12、次に可能な値 P {±1、±2、±3、±4、±6、±12}です。 同様に、私たちはしなければなりません ザ・番号 で割り切れる 何 そして ザ・番号 = 2, その後 何 次の値を持つことができます：{±1、±2}。 したがって、の値を分割する P あたり 何、 可能な値を取得します P/何 方程式の根：{+½、–½、+ 1、– 1、+3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.
私たちが見つけた値が実際に多項式の根であることを確認するために、の代わりに各値を置き換えましょう バツ 方程式の。 使って 代数微積分、多項式の結果が ゼロ, したがって、置換された数は実際には方程式の根です。
2倍4 + 5x3 –11倍2 – 20x + 12 = 0
x = +½の場合
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
x = –½の場合
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
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x = +1の場合
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
x = –1の場合
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
x = +の場合 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
x =-の場合 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
x = +2の場合
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
x = –2の場合
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
x = +3の場合
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
x = –3の場合
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
x = +4の場合
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
x = –4の場合
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
x = +6の場合
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
x = –6の場合
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
x = +12の場合
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
x = –12の場合
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
したがって、多項式の根 2倍4 + 5x3 –11倍2 – 20x + 12 = 0 彼らです {– 3, – 2, ½, 2}. 使って 多項式分解定理、この方程式は次のように書くことができます （x + 3）。（x + 2）。（x –½）。（x– 2）= 0.
アマンダ・ゴンサルベス
数学を卒業
学校や学業でこのテキストを参照しますか？ 見てください：
リベイロ、アマンダゴンサルベス。 "有理根定理"; ブラジルの学校. で利用可能： https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. 2021年6月28日にアクセス。
