אתה מספרים אי - רציונליים עורר אי שקט רב אצל מתמטיקאים במשך תקופה ארוכה. כיום, כבר מוגדרים היטב, אנו מכירים כמספר לא רציונלי את מי שלו ייצוג עשרוני הוא תמיד עשרוני לא תקופתי. המאפיין העיקרי של ההיגויים, ומה שמבדיל אותם ממספרים רציונליים, הוא שהם לא יכול להיות מיוצג על ידי א שבריר.
חקר המספרים הלא-רציונליים הועמק כאשר בעת חישוב בעיות הקשורות למשפט פיתגורס, נמצאו שורשים לא מדויקים. פעולת חיפוש הפיתרון לשורשים הלא מדויקים הללו הפכה את קיומם של מעשר לא מדויק למדהים תקופתית, כלומר של מספרים שחלקם העשרוני הוא אינסופי ואין לו רצף טוב. מוּגדָר. המספרים הלא רציונליים העיקריים הם עשרוניים לא תקופתיים, שורשים לא מדויקים ו- π.
קרא גם: שורש ריבועי - מקרה של השתרשות כאשר האינדקס הרדיקלי הוא 2
קבוצה של מספרים לא רציונליים
לפני חקר המספרים הלא רציונליים נחקרו קבוצות מספרים טִבעִי, מספרים שלמים ונימוקים. כאשר העמיקנו בחקר משולש המלבן התברר כי ישנם כמה שורשים שאין להם פתרון מדויק, בפרט, ניתן היה לראות שפתרונות שורש לא מדויקים הם מספרים המכונה מעשר לא תקופתי.
בעיצומו של אי-שקט זה, מתמטיקאים רבים ניסו להוכיח, ללא הצלחה, כי שורשים לא מדויקים הם מספרים רציונליים ו שניתן לייצג כשבר, אך מה שהתממש היה שאי אפשר לייצג את המספרים הללו בזה טופס. מכיוון שעד כה מערך המספרים הרציונליים לא כלל את המספרים הללו, עלה הצורך ליצור מערך חדש, המכונה מערך המספרים הלא רציונליים.
מספר אינו רציונלי כאשר הייצוג העשרוני שלו הוא עשרוני לא תקופתי. |
מהם מספרים לא רציונליים?
כדי להיות מספר לא רציונלי, עליו לספק את ההגדרה, כלומר הייצוג העשרוני שלה הוא עשרוני לא תקופתי. המאפיין העיקרי של עשרוניות לא תקופתיות הוא שאי אפשר לייצג אותן באמצעות שבר, מה שמראה שמספרים לא רציונליים הם ההפך ממספרים רציונליים.
המספרים העיקריים עם תכונה זו הם שורשים לא מדויקים.
דוגמאות:
א) √2
ב) √5
ג) √7
ד) √13
כאשר מחפשים פתרונות שורש לא מדויקים, כלומר ביצוע הייצוג העשרוני של המספרים הללו, תמיד נמצא עשרוני לא תקופתי, ההופך את המספרים האלה לאלמנטים של קבוצת לא הגיוני.
בנוסף לשורשים לא מדויקים, יש עשרונים לא תקופתיים עצמם, למשל, אם נחשב שורשים לא מדויקים, נמצא עשרוני לא תקופתי.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
מספרים לא רציונליים מיוצגים בדרך כלל באותיות יווניות, כי לא ניתן לכתוב את כל המקומות העשרוניים שלו.
הראשון הוא ה π (קרא: pi), נוכח בחישוב השטח והיקף המעגלים. בעל ערך השווה ל- 3,1415926535…
בנוסף ל- π, מספר נפוץ נוסף הוא ϕ (קרא: fi). הוא נמצא בבעיות הקשורות ל פּרוֹפּוֹרצִיָה זָהוּב. יש לו ערך השווה 1.618033 ...
ראה גם: מהם מספרים ראשוניים?
מספר רציונלי ולא הגיוני
בעת ניתוח קבוצות המספרים, חשוב להבדיל בין מספרים רציונליים למספרים לא רציונליים. האיחוד של שתי הקבוצות הללו מהווה אחת הקבוצות הנלמדות ביותר במתמטיקה, מכלול הריאלים, כלומר מערך מספרים אמיתיים זהו צירוף המספרים שניתן לייצג כשברים (רציונליים) למספרים שלא ניתן לייצג אותם כשברים (לא רציונליים).
במערך של מספר רציונלי, ישנם המספרים השלמים, הטבעיים, העשרונים המדויקים והעשרוניים התקופתיים.
דוגמאות למספרים רציונליים:
-60 → מספר שלם
2.5 → עשרוני מדויק
5.1111111... → עשרוני תקופתי
המספרים הלא רציונליים הם עשרוניים לא תקופתיים, ולכן אין מספר שהוא רציונלי ולא הגיוני בו זמנית.
דוגמה למספרים לא רציונליים:
1,123149... → מעשר לא תקופתי
2.769235... → מעשר לא תקופתי
פעולות עם מספרים לא רציונליים
חיבור וחיסור
ה חיבור וה חִסוּר של שני מספרים לא רציונליים הוא בדרך כלל פשוט ייצגאלא אם כן נעשה שימוש בקירוב עשרוני למספרים אלה, למשל:
א) √6 + √5
ב) √6 - √5
ג) 1.414213... + 3.1415926535 ...
איננו יכולים להוסיף או לחסר את הערכים בגלל הרדיקלים, לכן השארנו את הפעולה שצוינה.
בייצוגים עשרוניים, לא ניתן גם לבצע את הסכום המדויק כדי להוסיף שני מספרים לא רציונליים, אנו זקוקים לקירוב רציונלי., וייצוג זה נבחר על פי הצורך בדיוק של נתונים אלה. ככל שנשקול יותר מקומות עשרוניים, כך קרוב יותר לסכום המדויק שנקבל.
תַצְפִּית:מערך המספרים הלא רציונליים אינו סגור לחיבור או לחיסור, פירוש הדבר שסכום של שני מספרים לא רציונליים יכול לגרום למספר שאינו רציונלי. לדוגמא, אם נחשב את ההפרש של מספר לא רציונלי לפי ההפך שלו, עלינו:
א) √2 - √2 = 0
ב) π + (-π) = 0
אנו יודעים ש- 0 אינו מספר לא רציונלי.
כפל וחילוק
הכפל ו חֲלוּקָה של מספרים לא רציונליים ניתן לעשות אם הייצוג הוא א קרינהעם זאת, כמו תוספת, בייצוג עשרוני, כלומר הכפלת או חלוקה של שתי עשרוניות, נדרש קירוב רציונלי למספר זה.
א) √7 · √5 = √35
ב) √32: √2 = √16 = 4
שימו לב גם שבדוגמא ב '4 הוא מספר רציונלי, כלומר הכפל והחלוקה של שני מספרים לא רציונליים אינם סגורים, כלומר, הם יכולים לקבל תוצאה רציונאלית.
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - עיין במספרים הבאים:
ט) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
אלה מספרים לא רציונליים:
א) רק אני, IV ו- V.
ב) רק II, III ו- VI
ג) רק II, IV ו- VI
ד) רק אני, II, III ו- VI
ה) רק III, IV, V ו- VI
פתרון הבעיה
חלופה ב '
אני → המספר הוא עשרוני מדויק, רציונלי.
II → המספר הוא עשרוני לא תקופתי ולא רציונלי.
III → π הוא לא רציונלי, והכפול שלו, כלומר 2π, הוא גם לא רציונלי.
IV → המספר הוא עשרוני תקופתי, רציונלי.
V → שורש מדויק, רציונלי.
VI → שורש לא מדויק, לא רציונלי.
שאלה 2 - אנא שפט את ההצהרות הבאות:
אני - מכלול המספרים האמיתיים הוא איחוד הרציונלי והלא רציונלי;
II - הסכום של שני מספרים לא רציונליים יכול להיות מספר רציונלי;
III - מעשרות הם מספרים לא רציונליים.
בניתוח ההצהרות ניתן לומר כי:
א) ההצהרה היחידה אני נכונה.
ב) רק אמירה II נכונה.
ג) רק אמירה III נכונה.
ד) רק האמירות I ו- II נכונות.
ה) כל ההצהרות נכונות.
פתרון הבעיה
חלופה ד
אני → נכון, מכיוון שהגדרת מערך המספרים האמיתיים היא האיחוד בין רציונלי ללא הגיוני.
II → נכון, כאשר אנו מוסיפים מספר להיפך ממנו, נקבל כתוצאה את המספר 0, שהוא רציונלי.
III → מעשרות שגויות, לא תקופתיות, אינן רציונליות.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
