מהו פרופורציה?

כששניים סיבות יש את אותה תוצאה, אנחנו אומרים שהם כן יַחֲסִי. אם סיבות אלה מייצגות מדדים כלשהם גְדוּלָהאנו גם אומרים שהם פרופורציונליים.

במילים אחרות, שוויון זה אומר שהווריאציות המתרחשות ב- a גְדוּלָה משפיעים - או מושפעים - מהווריאציות של השנייה.

דוגמת פרופורציה

דמיין שמכונית נעה במהירות של 100 קמ"ש ובתוך פרק זמן מסוים עוברת מרחק של 200 ק"מ. בדוגמה זו יש לנו שניים גְדוּלָה: מהירות ומרחק.

הגדלים הללו, באותו מרווח זמן, תלויים ומשפיעים זה על זה, כך שאם המכונית תנוע במהירות נמוכה יותר, היא לא תוכל לכסות את אותו מרחק. למעשה, ניתן לומר בוודאות כי, בחצי מהירות, המכונית תעבור חצי מהמרחק ולכן, בפרק זמן זה, היא תגיע ל 100 ק"מ.

מהדוגמה הזו תוכלו לכתוב את הסיבות:

2 = 200 = 100 = מְהִירוּת
מרחק 100 50

פורמליזציה של המושג

באופן רשמי, א פּרוֹפּוֹרצִיָה זה שוויון בין הסיבות. בדרך כלל שוויון זה מיוצג על ידי שברים, כמו בדוגמה הקודמת. אז אנו אומרים ש- A, B, C ו- D הם פרופורציונליים אם ההצהרה שלהלן נכונה:

ה = Ç = L
BD

בשרשרת השוויון שלמעלה, שני השברים נקראים הפרופורציה, ו- L היא מידתיות קבועה. במקרה של הדוגמה הקודמת, קבוע המידתיות הוא 2.

כיצד לזהות כמויות פרופורציונליות

לזהות כמויות פרופורציונליות, נסה להרכיב אחד פּרוֹפּוֹרצִיָה ביניהם. במידת האפשר, הם יהיו מידתיים; אחרת, לא.

דוגמא:

אם מכונית נוסעת 80 ק"מ במהירות של 40 קמ"ש, היא תעבור 160 ק"מ במהירות של 80 קמ"ש. שים לב כי ליחסים בין מהירות למרחק יש אותה תוצאה:

40 =  80 = 1
80 160 2

דוגמא טובה ל כמויות לא פרופורציונליות הוא יחס המשקל והגובה. ניכר כי גודל אחד אינו תלוי בשני, שכן ישנם אלפי אנשים בעלי גבהים ומשקלים שונים.

כמויות פרופורציונליות ישירות

בכל פעם שגידול בכמות אחת מביא לגידול בכמות אחרת שביחס לה, אנו אומרים שהם כן ביחס ישר.

דמיין שחברה עובדת עם הרכבת עכברי מחשב בכמה קווי ייצור. אחת משורות אלה אחראית על הצבת הגלגלת המרכזית, המשמשת בדרך כלל לגלילת הדף אליו נכנסת.

נניח שחברה זו מונה 10 עובדים והם מצליחים להרכיב 380 עכברים ביום עבודה. אם החברה תכפיל את מספר העובדים, האם היא גם תכפיל את מספר העכברים הרכובים? אם התשובה חיובית, אנו אומרים שאלו הכמויות הן מידתיות ישירות.

כמויות פרופורציונליות הפוכות

בכל פעם שגידול בסדר גודל אחד מספק צמצום פרופורציונלי אחר לראשון, אנו אומרים שהם כן ביחס הפוך.

דמיין טיול שנעשה במהירות 50 קמ"ש תוך שעתיים. אם נכפיל את המהירות ל 100 קמ"ש, נבלה חצי מהזמן, כלומר שעה אחת בלבד. לכן, על ידי הגדלת כמות ה"מהירות ", אנו מקטינים את כמות ה"זמן".

רכוש יסודי של פרופורציות

מאפיין זה הוא תוצאה של החלת משוואות ביחס. דמיין ש- a, b, c ו- d הם מדדים של שתי כמויות פרופורציונליות וכבד את הדברים הבאים פּרוֹפּוֹרצִיָה:

ה = ç
ב ד

לכן, ניתן לכתוב את השוויון הנ"ל כדלקמן:

ad = bc

נכס זה ידוע כדלקמן: תוצר האמצעי שווה לתוצר הקיצוניות.

כלל שלוש

המאפיין הקודם הוא מה שמאפשר למצוא את אחד מדדי הגודל משלושת האחרים. הליך זה מכונה כלל של שלוש.

לדוגמא: בחברה המרכיבה עכברים שהוצגו בדוגמאות הקודמות, 10 עובדים מרכיבים 380 עכברים ביום עבודה. אם יש צורך להרכיב 1000 עכברים, כמה עובדים חייבים להעסיק לפחות?

שים לב שמספר העכברים המיוצרים חלקי מספר העובדים חייב להיות זהה ליחס במצב השני. יהיה צורך בכך שמספר העובד ייצג באות כלשהי, מכיוון שאיננו מכירים את המספר הזה.

380 = 1000
פי 10

באמצעות המאפיין הבסיסי, יהיה לנו:

380x = 10 · 1000

380x = 10000

x = 10000
380

x = 26.3

מכיוון שלא ניתן להעסיק 0.3 עובדים, אנו יודעים שהחברה תצטרך 27 בכדי לעמוד ביעד החדש. לכן, יהיה צורך ב -17 נוספים.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm