משוואה: מה זה, מושגי יסוד, סוגים, דוגמאות

אחד משוואה הוא משפט מתמטי שיש בו שוויון ולפחות אחד לא ידוע, כלומר כאשר יש לנו מעורבות של a ביטוי אלגברי ושוויון. לימוד משוואות דורש ידע מוקדם, כגון לימוד ביטויים מספריים. מטרת המשוואה היא מצא את הערך הלא ידוע שהופך שוויון לזהות, כלומר שוויון אמיתי.

קרא גם:פעולות עם שברים - איך מחשבים?

מושגי יסוד ללימוד משוואה

משוואה היא משפט מתמטי שיש בו לא ידוע, לפחות, ו שוויון, ואנחנו יכולים לדרג אותו לפי מספר האלמונים שלו. ראה כמה דוגמאות:

א) 5t - 9 = 16

למשוואה יש אלמוני המיוצג על ידי האות t.

ב) 5x + 6y = 1

למשוואה שני אלמונים המיוצגים על ידי האותיות איקס ו y.

ג) ט⁴ - 8z = x

למשוואה יש שלושה לא ידועים המיוצגים על ידי האותיות בסדר,z ו איקס.

לא משנה מה המשוואה, עלינו לקחת בחשבון את שלך סט היקום,מורכב מכל הערכים האפשריים שנוכל להקצות לבלתי ידוע, סט זה מיוצג על ידי האות U.

• דוגמה 1

שקול את המשוואה x + 1 = 0 ואת הפיתרון האפשרי שלה x = –1. עכשיו שקול שמערך היקום של המשוואה הוא טִבעִי.

שים לב שהפתרון כביכול אינו שייך לקבוצת היקום, מכיוון שאלמנטים שלו הם כל הערכים האפשריים שהלא נודע יכול לקחת, ולכן x = –1 אינו הפיתרון למשוואה.

כמובן שככל שמספר האלמונים גדול יותר, כך קשה יותר לקבוע את הפתרון שלך. ה פִּתָרוֹן אוֹ מָקוֹר של משוואה הוא מכלול הערכים שכאשר הם מוקצים לבלתי ידוע, הם הופכים את השוויון לאמיתי.

• דוגמה 2

שקול את המשוואה עם 5x לא ידוע - 9 = 16, ודא ש- x = 5 הוא הפתרון או שורש המשוואה.

כדי שאפשר לומר את זה x = 5 הוא הפתרון של המשוואה, עלינו להחליף ערך זה בביטוי, אם נמצא שוויון אמיתי, המספר יהיה הפיתרון הנבדק.

5איקס – 9 = 16

5(5) – 9 = 16

25 – 9 = 16

16 = 16

ראו שהשוויון שנמצא נכון, ולכן יש לנו זהות והמספר 5 הוא פיתרון. אז אנו יכולים לומר כי ערכת הפתרונות ניתנת על ידי:

S = {5}

• דוגמה 3

שקול משוואה t² = 4 ובדוק האם t = 2 או t = -2 הם פתרונות למשוואה.

באופן אנלוגי, עלינו להחליף את הערך של t למשוואה, אולם נציין שיש לנו שני ערכים עבור הלא נודע ולכן עלינו לבצע את האימות בשני שלבים.

שלב 1 - עבור t = 2

t²= 4

2² = 4

4 = 4

שלב 2 - עבור t = -2

t² = 4

(–2)² = 4

4 = 4

ראה עבור t = 2 ו- t = - 2 אנו מוצאים זהות, כך ששני הערכים הללו הם פתרונות למשוואה. לפיכך, אנו יכולים לומר כי מערך הפתרונות הוא:

S = {2, –2}

סוגי משוואה

אנחנו יכולים גם לסווג משוואה לגבי העמדה שהלא ידועים תופסים. ראה את הסוגים העיקריים:

• משוואות פולינומים

בְּ משוואות פולינום מאופיינים בכך שיש להם פולינום השווה לאפס. ראה כמה דוגמאות:

ה) 6t³+ 5t²–5t = 0

המספרים6, 5 ו –5 הם המקדמים של המשוואה.

ב) 9איקס – 9= 0

המספרים 9 ו – 9 הם המקדמים של המשוואה.

ג) י²– y – 1 = 0

המספרים 1, – 1 ו – 1 הם המקדמים של המשוואה.

• מעלות משוואה

ניתן לסווג משוואות פולינומיות לפי מידתן. טוב כמו ה פולינומים, מידת המשוואה הפולינומית ניתנת על ידי ההספק הגבוה ביותר שיש לו מקדם שאינו אפס.

מהדוגמאות הקודמות a, b ו- c, יש לנו שמעלות המשוואות הן:

א) 6t³ + 5 ט '² –5t = 0 → משוואה פולינומית של דרגה שלישית

9איקס - 9 = 0 → משוואה פולינומית של תואר ראשון

ç) y² - y - 1 = 0 → משוואה פולינומית של בית ספר תיכון

קרא גם: משוואה ריבועיתu: כיצד לחשב, סוגים, דוגמאות

• משוואות רציונליות

משוואות רציונליות מאופיינות בכך שהן לא ידועים במכנה של א שבריר. ראה כמה דוגמאות:

קרא גם: מהם מספרים רציונליים?

• משוואות לא רציונליות

בְּ משוואות לא רציונליות מאופיינים בכך שיש להם לא ידועים בתוך שורש nthכלומר בתוך רדיקל שיש בו אינדקס n. ראה כמה דוגמאות:

• משוואות אקספוננציאליות

בְּ משוואות אקספוננציאליות יש את אלמונים הממוקמים במעריך של א פּוֹטֵנצִיָה. ראה כמה דוגמאות:

• משוואה לוגריתמית

בְּ משוואות לוגריתמיות מאופיינים בכך שיש אחד או יותר לא ידועים בחלק כלשהו של לוֹגָרִיתְם. נראה שכאשר מיישמים את הגדרת הלוגריתם, המשוואה נופלת בחלק מהמקרים הקודמים. ראה כמה דוגמאות:

ראה גם: משוואה מדרגה ראשונה עם לא ידוע

כיצד לפתור משוואה?

כדי לפתור משוואה, עלינו ללמוד את שיטות המשמשות בכל סוגכלומר, לכל סוג משוואה, קיימת שיטה שונה לקביעת השורשים האפשריים. עם זאת כל השיטות הללו הן נגזר מעיקרון השקילות, איתו ניתן לפתור את סוגי המשוואות העיקריים.

• עקרון שקילות

עיקרון שני של שוויון, אנו יכולים לפעול באופן חופשי בצד אחד של שוויון כל עוד אנו עושים אותו הדבר בצד השני של השוויון. כדי לשפר את ההבנה, נקרא לצדדים אלה.

לכן, עקרון השוויון קובע שזה אפשרי לפעול בגפה הראשונה בחופשיות כל עוד אותה פעולה נעשית בחבר השני.

על מנת לאמת את עקרון השוויון, שקול את השוויון הבא:

5 = 5

בואו נלך עכשיו להוסיף משני הצדדים את המספר 7, ושימו לב שהשוויון עדיין יהיה נכון:

5 =5

5 + 7= 5 + 7

12 = 12

בואו נלך עכשיו להחסיר 10 משני צידי השוויון, שים לב שוב שהשוויון עדיין יהיה נכון:

12 = 12

12 – 10 = 12 – 10

2 = 2

לראות שאנחנו יכולים לְהַכפִּיל אוֹ לַחֲלוֹק ולהעלות ל- a פּוֹטֵנצִיָה או אפילו לחלץ א מָקוֹר, כל עוד זה נעשה על החבר הראשון והשני, השוויון תמיד יישאר נכון.

כדי לפתור משוואה, עלינו להשתמש בעקרון זה יחד עם הידע על הפעולות שהוזכרו. על מנת להקל על התפתחות המשוואות, בואו נשמיט את הפעולה שנעשתה על החבר הראשון, זה שווה ערך לומר שאנחנו מעבירים את המספר לחבר השני ומחליפים את השלט ההפוך.

הרעיון לקבוע את הפיתרון של משוואה הוא תמיד לבודד את הלא נודע באמצעות עקרון השוויון, תראה:

• דוגמה 4

בעזרת עקרון השוויון, קבעו את מערך הפתרונות של המשוואה 2x - 4 = 8 בידיעה שקבוצת היקום ניתנת על ידי: U = ℝ.

2x - 4 = 8

כדי לפתור משוואת פולינום של המעלה הראשונה, עלינו להשאיר את הלא נודע בחבר הראשון מבודד. לשם כך ניקח את המספר –4 מהחבר הראשון, נוסיף 4 לשני הצדדים, מכיוון –4 + 4 = 0.

2x - 4 = 8

2x - 4+ 4 = 8+ 4

2x = 12

שים לב שביצוע תהליך זה שווה ערך פשוט להעברת המספר 4 עם הסימון ההפוך. לכן, כדי לבודד את ה- x הלא ידוע, נעביר את המספר 2 לחבר השני, מכיוון שהוא מכפיל את x. (זכרו: הפעולה ההפוכה של הכפל היא חלוקה). זה יהיה זה כמו לחלק את שני הצדדים ב -2.

לכן, ערכת הפתרונות ניתנת על ידי:

S = {6}

• דוגמה 5

לפתור משוואה 2^{x + 5} = 128 בידיעה שקבוצת היקום ניתנת על ידי U = ℝ.

כדי לפתור את המשוואה האקספוננציאלית, בואו נשתמש קודם בהמשך נכס פוטנציאלי:

ה^{m + n} = ה^M · א^לא

נשתמש גם בעובדה ש -2² = 4 ו -2⁵ = 32.

2^{x + 5} = 128

2^איקס · 2⁵ = 128

2^איקס · 32 = 128

שים לב שאפשר לחלק את שני הצדדים ב- 32, כלומר להעביר את המספר 32 לחבר השני על ידי חלוקה.

אז עלינו:

2^איקס = 4

2^איקס = 2²

הערך היחיד של x העונה על השוויון הוא המספר 2, ולכן x = 2 וסט הפתרונות ניתן על ידי:

S = {2}

משוואות קיימות בכמה תחומי מדע.

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - שקול את היקום הקבוע U = ℕ וקבע את הפתרון של המשוואה הלא רציונאלית הבאה:

פתרון הבעיה

כדי לפתור משוואה זו, עלינו לדאוג לחסל את שורש החבר הראשון. שימו לב, לשם כך יש צורך להעלות את האיבר הראשון לאותו אינדקס כמו השורש, כלומר לקוביה. לפי עקרון השוויון, עלינו גם לגדל את החבר השני בשוויון.

שים לב שעכשיו עלינו לפתור משוואת פולינום של התואר השני. בוא נעביר את המספר 11 לחבר השני (גרע 11 משני צידי השוויון), כדי לבודד את ה- x הלא ידוע.

איקס² = 27 – 11

איקס² = 16

עכשיו כדי לקבוע את הערך של x, ראו שיש שני ערכים המספקים שוויון, x '= 4 או x' '= –4, פַּעַם:

4² = 16

ו

(–4)² = 16

עם זאת, שים לב בהצהרת השאלה כי קבוצת היקום הנתונה היא קבוצת המספרים הטבעיים, והמספר -4 אינו שייך לה, לפיכך, קבוצת הפתרונות ניתנת על ידי:

S = {4}

שאלה 2 - שקול את משוואת הפולינום x² + 1 = 0 בידיעה שקבוצת היקום ניתנת על ידי U = ℝ.

פתרון הבעיה

עבור עקרון השוויון, חיסר 1 משני החברים.

איקס² + 1 – 1= 0 – 1

איקס² = – 1

שימו לב שלשוויון אין פיתרון, מכיוון שמערך היקום הוא המספרים האמיתיים, כלומר כל ה ערכים שהלא נודע יכול להניח שהם אמיתיים, ואין מספר ממשי שכאשר בריבוע הוא שלילי.

1² = 1

ו

(–1)² = 1

לכן, למשוואה אין פתרון במכלול הריאלים, וכך נוכל לומר שקבוצת הפתרונות ריקה.

S = {}

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה