ה הֶקֵף היא דמות גיאומטרית שטוחה שנוצרה על ידי איחוד של נקודות שוותכלומר, יש להם מרחק זהה מנקודה קבועה הנקראת מרכז. חקר ההיקף קיים גם ב גיאומטריה אנליטית, בה ניתן להסיק משוואה המייצגת אותה.
למרות ש מעגל והיקף הם דמויות גיאומטריות שטוחות עם כמה אלמנטים משותפים, מה שמוביל בדרך כלל לספקות, דמויות אלה מציגות הבדלים חשובים, במיוחד ביחס לממד.
קרא גם: מרחק בין שתי נקודות - מושג חשוב של גאומטריה אנליטית
אלמנטים של המעגל
שימו לב להיקף:
הנקודה Ç זה נקרא מרכז המעגל, ושימו לב שנקודות A ו- B שייכות אליו. הקטע המצטרף לקצות המעגל העוברים במרכז נקרא קוֹטֶר. על ההיקף הקודם, אז אנחנו חייבים הקוטר הוא קטע AB.
אל ה חלק את הקוטר לשניים, בוא נקבל את רדיוס ההיקף, כלומר את רדיוס (r) של מעגל זה הקטע שמצטרף למרכז ולסוף. במקרה זה, הרדיוס הוא קטע ה- CB. אנו יכולים ליצור קשר מתמטי בין שני היסודות הללו, מכיוון שהקוטר הוא כפול מהרדיוס.
d = 2 · r
דוגמא
קבע את רדיוס המעגל שקוטרו 40 ס"מ.
אנו יודעים שהקוטר הוא כפול מהרדיוס, כך:
אורך היקף
קחו עיגול שיש לו רדיוס במדידה r. או אורך או היקף של ההיקף ניתן על ידי המוצר של çpi קבוע (π) ברדיוס כפול.
כאשר אנו מחשבים את אורכו או היקפו של מעגל, אנו קובעים את גודל הקו ירוק בשרטוט הקודם, וכדי לעשות זאת, פשוט החלף את ערך הרדיוס בנוסחה שממשיכה דמות.
דוגמא
קבע את אורך היקף הרדיוס 5 ס"מ.
רדיוס המעגל שווה 5 ס"מ, לכן כדי לקבוע את אורך המעגל, עלינו להחליף ערך זה בנוסחה.
C = 2πr
C = 2 (3.14) (5)
C = 6.24 · 5
C = 31.2 ס"מ
ראה גם: בניית מצולעים חתומים
אזור היקף
שקול מעגל של רדיוס r. כדי לחשב את השטח שלך, אנחנו חייבים הכפל את הריבוע של ערך הרדיוס ב- π.
כאשר אנו מחשבים את שטח המעגל, אנו קובעים את מידת השטח, כלומר את כל האזור בתוך המעגל.
- דוגמא
קבע את שטח המעגל שיש לו רדיוס השווה ל -4 ס"מ.
יש לנו שרדיוס ההיקף שווה ל -4 ס"מ, ולכן נוכל להחליף את המידה בנוסחה לשטח. תראה:
A = π · r2
A = 3.14 · (4)2
A = 3.14 · 16
H = 50.24 ס"מ2
משוואה מופחתת היקף
אנו יודעים שאפשר לבנות מעגל על ידי אוסף נקודות בעל אותו מרחק מנקודה קבועה הנקראת מקור או מרכז. אז שקול נקודה קבועה ב מטוס קרטזי O (a, b). קבוצת הנקודות - המיוצגת על ידי P (x, y) - שנמצאות באותו מרחק r מנקודה קבועה זו תיצור מעגל של רדיוס r.
שים לב שנקודות הצורה P (x, y) כולן באותו מרחק מנקודה O (a, b), כלומר, המרחק בין הנקודות O ו- P שווה לרדיוס המעגל, לכן:
בְּ משוואה מופחתת, שים לב שהמספרים ה ו ב הם הקואורדינטות של מרכז המעגל וזה ר הוא מדד הרדיוס.
- דוגמא
קבע את הקואורדינטות של המרכז ואת מידת רדיוס המעגל שיש לו משוואה:
א) (x - 2)2 + (y - 6)2 = 36
בהשוואת משוואה זו למשוואה המוקטנת, יש לנו:
(איקס - ה)2 + (y - ב)2 = ר2
(איקס - 2)2 + (y -6)2 = 36
ראו ש a = 2, b = 6 ו- r2 = 36. המשוואה היחידה לפתור היא:
ר2 = 36
r = 6
לכן, הקואורדינטות של המרכז הן: O (2, 6) ואורך הרדיוס הוא 6.
ב) (x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
באופן דומה יש לנו:
(איקס - ה)2 + (y - ב)2 = ר2
(x - 5)2 + (y + 3)2 = 121
a = 5
- b = 3
b = –3
בעוד שערך הרדיוס ניתן על ידי:
ר2 = 121
r = 11
ג) x2 + y2 = 1
(איקס - ה)2 + (y - ב)2 = ר2
איקס2 + y2 = 1
שים לב ש- x2 = (x + 0)2 ו- y2 = (y + 0)2 . אז עלינו:
(איקס - ה)2 + (y - ב)2 = ר2
(x + 0)2 + (y + 0)2 = 1
לכן, הקואורדינטה של המרכז היא O (0, 0) והרדיוס שווה ל- 1.
גישה גם: כיצד למצוא את מרכז המעגל?
משוואה כללית של המעגל
כדי לקבוע את המשוואה הכללית של המעגל, עלינו לפתח את המשוואה המוקטנת שֶׁלָה. לפיכך, שקול מעגל שיש לו מרכז בקואורדינטות O (a, b) ורדיוס r.
בתחילה נפתח את המונחים בריבוע באמצעות ה- מוצרים בולטים; ואז נעביר את כל המספרים לחבר הראשון; ולבסוף, נצטרף למונחים עם אותו מקדם מילולי, כלומר אלה עם אותן אותיות. תראה:
דוגמא
קבע את הקואורדינטות של המרכז ואת הרדיוס הממוצע של המעגל שיש לו משוואה:
א) x2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
כדי לקבוע את הרדיוס והקואורדינטות של המעגל שיש לו משוואה זו, עלינו להשוות אותה למשוואה הכללית. תראה:
איקס2 + y2 – 2איקס - 2 בy + ה2 + ב2 –ר2 = 0
איקס2 + y2 – 4איקס - 6y + 4 + 9 – 49 = 0
מההשוואות בירוק, עלינו:
2 = 4
a = 2
אוֹ
ה2 = 4
a = 2
מההשוואות באדום יש לנו את זה:
2b = 6
b = 3
אוֹ
ב2 = 9
b = 3
לפיכך, אנו יכולים לומר שלמרכז יש קואורדינטות O (2, 3). כעת, בהשוואת הערך של r, יש לנו:
ר2 = 49
r = 7
לכן, לרדיוס המעגל אורך השווה ל- 7.
ב) x2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
באופן דומה, בואו נשווה את המשוואות:
איקס2 + y2 – 2איקס - 2 בy + ה2 + ב2 - ר2 = 0
איקס2 + y2 –10איקס + 14y + 10 = 0
2 = 10
a = 5
קביעת הערך של b:
–2b = 14
7 =
שים לב עכשיו ש:
ה2 + ב2 - ר2 = 10
מכיוון שאנו מכירים את הערכים של a ו- b, אנו יכולים להחליף אותם בנוסחה. תראה:
ה2 + ב2 - ר2 = 10
52 + (–7)2 - ר2 = 10
25 + 49 - ר2 = 10
74 - ר2 = 10
- ר2 = 10 – 74
(–1) - ר2 = –64 (–1)
ר2 = 64
r = 8
לכן, הקואורדינטות של המרכז הן O (5, –7) ולרדיוס אורך השווה ל- 8.
הבדלים בין היקף למעגל
ההבדל בין מעגל למעגל נוגע ל מספר מידות של כל אלמנט. בעוד למעגל יש מימד אחד, למעגל יש שני.
מעגל הוא אזור במישור שנוצר על ידי נקודות השוות במרחק שווה מנקודה קבועה הנקראת מקור. המעגל מורכב מכל אזור בתוך המעגל. ראה את ההבדל בתמונות:
ראה גם:אורך ההיקף ואזור המעגל
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - להיקף היקף השווה 628 ס"מ. קבע את קוטר המעגל הזה (נאמץ π = 3.14).
פתרון הבעיה
מכיוון שההיקף שווה ל- 628 ס"מ, אנו יכולים להחליף ערך זה בביטוי אורך ההיקף.
שאלה 2 - שני מעגלים הם קונצנטריים אם יש להם אותו מרכז. בידיעה זו, קבע את שטח הדמות הריקה.
פתרון הבעיה
שים לב שכדי לקבוע את שטח האזור בלבן, עלינו לקבוע את שטח המעגל הגדול יותר ואז את זה של המעגל הקטן יותר בכחול. שימו לב גם שאם נסיר את העיגול הכחול, נותר רק האזור שאנו רוצים, ולכן עלינו להפחית את אותם אזורים. תראה:
הגדול יותר = r2
הגדול יותר = (3,14) · (9)2
הגדול יותר = (3,14) · 81
הגדול יותר = 254.34 ס"מ2
בואו כעת נחשב את שטח העיגול הכחול:
הקטן יותר = r2
הקטן יותר = (3,14) · (5)2
הקטן יותר = (3,14) · 25
הקטן יותר = 78.5 ס"מ2
לפיכך, השטח הריק ניתן על ידי ההבדל בין השטח הגדול יותר לשטח הקטן יותר.
הלבן = 254,34 – 78,5
הלבן = 175,84 ס"מ2
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm