כל המספרים הקיימים נוצרו על פי הצרכים האנושיים בעת הבריאה, כפי שקורה במספרים טבעיים, אשר נוצרו כדי לספור ולשלוט ב"מניות ", ומספרים לא רציונליים, שהוקמו כדי לפתור בעיות ביחס ל שורשים. דווקא הבעיות הכרוכות בשורשים החלו את הידע על מספרים מסובכים.
המשוואה הריבועית x2 + 4x + 5 = 0 אין שורשים אמיתיים. המשמעות היא שבתוך מערך המספרים האמיתיים אי אפשר למצוא ערכים עבור x השווים את המונח הראשון של משוואה זו לשני. אנו צופים בתופעה זו מתחילת הנוסחה של בהאסקרה:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
ברגע שנמצא ערך שלילי עבור Δ, אי אפשר להמשיך בנוסחה של בהאסקרה, מכיוון שהוא דורש לחשב √Δ (שורש הדלתא). כעת אנו יודעים כי לא ניתן לחשב √– 4 מכיוון שאין מספר ממשי, המוכפל בעצמו, יביא ל- - 4.
מספרים מורכבים נוצרו כדי לענות על צרכים אלה. מהקמתה, ניתן לפתח את √– 4 באופן הבא:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) מובנת כסוג חדש של מספר. קבוצת כל המספרים הללו ידועה כקבוצת המספרים המורכבים, וכל נציג של הקבוצה החדשה מוגדר באופן הבא: תן A להיות מספר מורכב, ואז,
A = ה + באיפה אני הו ב הם מספרים ממשיים ו- i = √ (- 1)
בהגדרה זו, ה זה ידוע כ חלק אמיתי של א ו ב זה ידוע כ חלק דמיוני של א.
מאפיינים של מספרים מורכבים
מספרים אמיתיים מייצגים, במלואם ובגאומטריה, קו. מספרים מורכבים, בתורם, מייצגים מישור שלם. המישור הקרטזיאני המשמש לייצוג המספרים המורכבים מכונה מטוס הארגנד-גאוס.
ניתן לייצג כל מספר מורכב במישור ארגנד-גאוס כנקודת קואורדינטות (a, b). המרחק מהנקודה המייצגת מספר מורכב לנקודה (0,0) נקרא המודול של המספר המורכב., שמוגדר:
תן ל- A = a + bi להיות מספר מורכב, המודול שלו הוא | A | = א2 + ב2
למספרים מורכבים יש גם אלמנט הפוך, הנקרא צמידה. זה מוגדר כ:
תן ל- A = a + bi להיות מספר מורכב,
Ā = a - bi הוא הצמידה של מספר זה.
נכס 1: תוצר של מספר מורכב וצמידתו שווה לסכום הריבועים של החלק האמיתי ולחלק הדמיוני של המספר המורכב. מתמטית:
AĀ = א2 + ב2
דוגמה: מהו המוצר של A = 2 + 5i על ידי הצמידה שלו?
פשוט עשו את החישוב: א2 + ב2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. אם היינו בוחרים לכתוב את הצמידה של A ולאחר מכן לבצע את הכפל AĀ, היינו:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
כלומר, באמצעות המאפיין המוצע ניתן להימנע מחישוב ארוך וכן מטעויות במהלך חישובים אלה.
נכס 2: אם מספר מורכב A שווה לצמידתו, אז A הוא מספר ממשי.
תן ל- A = a + bi. אם A = Ā, אז:
a + bi = a - bi
bi = - בי
b = - ב
לכן, b = 0
לכן, חובה שכל מספר מורכב השווה לצמידתו הוא גם מספר ממשי.
נכס 3: הצמידה של סכום שני מספרים מורכבים שווה לסכום הצמידות של מספרים אלה., זה:
_____ _ _
A + B = A + B
דוגמה: מהו הצמידה של סכום 7 + 9i ו- 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
אתה יכול להוסיף תחילה ואז לחשב את הצמידה של התוצאה, או לעשות את הצמידות תחילה ואז להוסיף את התוצאות מאוחר יותר.
נכס 4: הצמידה של המוצר בין שני מספרים מורכבים שווה לתוצר של הצמידות שלהם, כְּלוֹמַר:
__ _ _
AB = A · B
דוגמא: מה התוצר של הצמידות של A = 7i + 10 ו- B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
בהתאם לצורך בתרגיל, ניתן להכפיל תחילה ולחשב את הצמידה לאחר מכן, או להציג את הצמידות לפני ביצוע הכפל.
נכס 5: התוצר של מספר מורכב A והצמידה שלו שווה לריבוע המודול של A, כְּלוֹמַר:
AĀ = | A |2
דוגמה: A = 2 + 6i, ואז AĀ = | A |2 = (√a2 + ב2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. שימו לב כי אין צורך למצוא את הצמידה ולבצע כפל באמצעות המאפיין החלוקתי של כפל על תוספת (המכונה ראש מקלחת קטן).
נכס 6: המודול של מספר מורכב שווה למודול של הצמידה שלו. במילים אחרות:
| א | = | Ā |
דוגמה: מצא את המודול של הצמידה של המספר המורכב A = 3 + 4i.
שים לב כי אין צורך למצוא את הצמידה, מכיוון שהמודולים זהים.
| א | = √ (א2 + ב2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
אם | Ā | היה מחושב, השינוי היחיד יהיה a ב בריבוע שלילי, שיש לו תוצאה חיובית. לפיכך, התוצאה עדיין תהיה השורש של 25.
נכס 7: אם A ו- B הם מספרים מורכבים, אז תוצר המודול של A ו- B שווה למודול של המוצר A ו- B.כלומר:
| AB | = | A || B |
דוגמה: תן A = 6 + 8i ו- B = 4 + 3i, כמה עולה | AB |?
שים לב שאין צורך להכפיל מספרים מורכבים לפני חישוב המודול. אפשר לחשב את המודול של כל מספר מורכב בנפרד ואז פשוט להכפיל את התוצאות.
| א | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| ב | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm
