מאפיינים הכוללים מספרים מורכבים

כל המספרים הקיימים נוצרו על פי הצרכים האנושיים בעת הבריאה, כפי שקורה במספרים טבעיים, אשר נוצרו כדי לספור ולשלוט ב"מניות ", ומספרים לא רציונליים, שהוקמו כדי לפתור בעיות ביחס ל שורשים. דווקא הבעיות הכרוכות בשורשים החלו את הידע על מספרים מסובכים.

המשוואה הריבועית x² + 4x + 5 = 0 אין שורשים אמיתיים. המשמעות היא שבתוך מערך המספרים האמיתיים אי אפשר למצוא ערכים עבור x השווים את המונח הראשון של משוואה זו לשני. אנו צופים בתופעה זו מתחילת הנוסחה של בהאסקרה:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

ברגע שנמצא ערך שלילי עבור Δ, אי אפשר להמשיך בנוסחה של בהאסקרה, מכיוון שהוא דורש לחשב √Δ (שורש הדלתא). כעת אנו יודעים כי לא ניתן לחשב √– 4 מכיוון שאין מספר ממשי, המוכפל בעצמו, יביא ל- - 4.

מספרים מורכבים נוצרו כדי לענות על צרכים אלה. מהקמתה, ניתן לפתח את √– 4 באופן הבא:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

A √ (- 1) מובנת כסוג חדש של מספר. קבוצת כל המספרים הללו ידועה כקבוצת המספרים המורכבים, וכל נציג של הקבוצה החדשה מוגדר באופן הבא: תן A להיות מספר מורכב, ואז,

A = ה + באיפה אני הו ב הם מספרים ממשיים ו- i = √ (- 1)

בהגדרה זו, ה זה ידוע כ חלק אמיתי של א ו ב זה ידוע כ חלק דמיוני של א.

מאפיינים של מספרים מורכבים

מספרים אמיתיים מייצגים, במלואם ובגאומטריה, קו. מספרים מורכבים, בתורם, מייצגים מישור שלם. המישור הקרטזיאני המשמש לייצוג המספרים המורכבים מכונה מטוס הארגנד-גאוס.

ניתן לייצג כל מספר מורכב במישור ארגנד-גאוס כנקודת קואורדינטות (a, b). המרחק מהנקודה המייצגת מספר מורכב לנקודה (0,0) נקרא המודול של המספר המורכב., שמוגדר:

תן ל- A = a + bi להיות מספר מורכב, המודול שלו הוא | A | = א² + ב²

למספרים מורכבים יש גם אלמנט הפוך, הנקרא צמידה. זה מוגדר כ:

תן ל- A = a + bi להיות מספר מורכב,

Ā = a - bi הוא הצמידה של מספר זה.

נכס 1: תוצר של מספר מורכב וצמידתו שווה לסכום הריבועים של החלק האמיתי ולחלק הדמיוני של המספר המורכב. מתמטית:

AĀ = א² + ב²

דוגמה: מהו המוצר של A = 2 + 5i על ידי הצמידה שלו?

פשוט עשו את החישוב: א² + ב² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. אם היינו בוחרים לכתוב את הצמידה של A ולאחר מכן לבצע את הכפל AĀ, היינו:

AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

AĀ = 4 - 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

כלומר, באמצעות המאפיין המוצע ניתן להימנע מחישוב ארוך וכן מטעויות במהלך חישובים אלה.

נכס 2: אם מספר מורכב A שווה לצמידתו, אז A הוא מספר ממשי.

תן ל- A = a + bi. אם A = Ā, אז:

a + bi = a - bi

bi = - בי

b = - ב

לכן, b = 0

לכן, חובה שכל מספר מורכב השווה לצמידתו הוא גם מספר ממשי.

נכס 3: הצמידה של סכום שני מספרים מורכבים שווה לסכום הצמידות של מספרים אלה., זה:

_____ _ _ 
A + B = A + B

דוגמה: מהו הצמידה של סכום 7 + 9i ו- 2 + 4i?

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i

אתה יכול להוסיף תחילה ואז לחשב את הצמידה של התוצאה, או לעשות את הצמידות תחילה ואז להוסיף את התוצאות מאוחר יותר.

נכס 4: הצמידה של המוצר בין שני מספרים מורכבים שווה לתוצר של הצמידות שלהם, כְּלוֹמַר:

__ _ _
AB = A · B

דוגמא: מה התוצר של הצמידות של A = 7i + 10 ו- B = 4 + 3i?

(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i

בהתאם לצורך בתרגיל, ניתן להכפיל תחילה ולחשב את הצמידה לאחר מכן, או להציג את הצמידות לפני ביצוע הכפל.

נכס 5: התוצר של מספר מורכב A והצמידה שלו שווה לריבוע המודול של A, כְּלוֹמַר:

AĀ = | A |²

דוגמה: A = 2 + 6i, ואז AĀ = | A |² = (√a² + ב²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. שימו לב כי אין צורך למצוא את הצמידה ולבצע כפל באמצעות המאפיין החלוקתי של כפל על תוספת (המכונה ראש מקלחת קטן).

נכס 6: המודול של מספר מורכב שווה למודול של הצמידה שלו. במילים אחרות:

| א | = | Ā |

דוגמה: מצא את המודול של הצמידה של המספר המורכב A = 3 + 4i.

שים לב כי אין צורך למצוא את הצמידה, מכיוון שהמודולים זהים.

| א | = √ (א² + ב²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

אם | Ā | היה מחושב, השינוי היחיד יהיה a ב בריבוע שלילי, שיש לו תוצאה חיובית. לפיכך, התוצאה עדיין תהיה השורש של 25.

נכס 7: אם A ו- B הם מספרים מורכבים, אז תוצר המודול של A ו- B שווה למודול של המוצר A ו- B.כלומר:

| AB | = | A || B |

דוגמה: תן A = 6 + 8i ו- B = 4 + 3i, כמה עולה | AB |?

שים לב שאין צורך להכפיל מספרים מורכבים לפני חישוב המודול. אפשר לחשב את המודול של כל מספר מורכב בנפרד ואז פשוט להכפיל את התוצאות.

| א | = √ (6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

| ב | = √ (4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | A || B | = 10 · 5 = 50

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm