פקטוריזציה של ביטוי אלגברי. שיטות פקטורציה אלגבריות

ה פקטוריזציה של ביטוי אלגברי מורכב מכתיבת ביטוי אלגברי ב טופס מוצר. במקרים מעשיים, כלומר בפתרון של כמה בעיות הכרוכות בכך ביטויים אלגבריים, פקטוריזציה שימושית ביותר מכיוון שברוב המצבים היא מפשטת את הביטוי המעובד.

כדי לבצע פקטוריזציה של ביטויים אלגבריים, נשתמש בתוצאה חשובה מאוד במתמטיקה הנקראת משפט בסיסי של חשבון, הקובע כי כל מספר שלם הגדול מ -1 יכול להיכתב כתוצר של מספרים ראשוניים, תראה:

121 = 11 · 11

60 = 5 · 4 · 3

פשוט חשבנו את המספרים 121 ו -60.

קרא גם: פירוק מספר לגורמים ראשוניים

שיטות לפקטור ביטויים אלגבריים

כעת נראה את שיטות הפקטוריזציה העיקריות, את השיטות הנפוצות ביותר אנו נעשה הצדקה גיאומטרית קצרה. תראה:

• ראיות פקטורינג

שקול את המלבן:

שים לב שה- מַלבֵּן כחול בתוספת שטח המלבן הירוק גורם למלבן הגדול יותר. בואו נסתכל על כל אחד מהאזורים הבאים:

ה_{כָּחוֹל} = b · x

ה_ירוק = b · y

ה_{גדול יותר} = b · (x + y)

אז עלינו:

ה_{גדול יותר} = א_{כָּחוֹל} + א_ירוק

b (x + y) = bx + על ידי

• דוגמאות

ה) לגורם לביטוי: 12x + 24y.

שימו לב ש- 12 הוא הגורם הראייתי, מכיוון שהוא מופיע בשתי החבילות, אז כדי לקבוע את המספרים שנכנסים לסוגריים, זה מספיק לַחֲלוֹק כל חבילה לפי הגורם הראייתי.

פי 12: 12 = איקס

24y: 12 = 2y

12x + 24y = 12 · (איקס + 2y)

ב) לפקטור ביטוי 21ab² - 70²ב.

באותו אופן, בתחילה נקבע גורם הראיות, כלומר הגורם שחוזר על עצמו בחבילות. ראה כי מהחלק המספרי יש לנו את 7 כגורם משותף, מכיוון שהוא זה שמחלק את שני המספרים. כעת, לגבי החלק המילולי, ראה שרק הגורם חוזר על עצמו abלפיכך, גורם הראיות הוא: 7ab.

21ab² - 70²b = 7ab (3b - 10^ה)

קרא גם: חלוקה פולינומית: כיצד לעשות זאת?

• פקטורינג לפי קיבוץ

הגורם לפיזור לפי קיבוץ הוא הנובעת מפקטורינג על ידי ראיותההבדל היחיד הוא שבמקום שיהיה מונומיום כגורם משותף או גורם ראיות, יהיה לנו פולינום, ראה את הדוגמה:

שקול את הביטוי (a + b) · xy + (a + b) · wz²

שים לב שהגורם המשותף הוא הבינומי (a + b),לכן, הצורה הממוקמת של הביטוי הקודם היא:

(a + b) · (Xy + wz²)

• הבדל בין שני ריבועים

שקול שני מספרים a ו- b, כשיש לנו a הֶבדֵל של הריבוע של המספרים הללו, כלומר² ב²כדי שנוכל לכתוב אותם כ- תוצר של סכום להפרשכלומר:

ה² ב² = (a + b) · (a - b)

• דוגמאות

ה) לפקטור הביטוי x² - y².

אנו יכולים להשתמש בהבדל בין שני ריבועים, כך:

איקס² - y² = (x + y) · (x - y)

ב) לפקטור 2020² – 2.019².

אנו יכולים להשתמש בהבדל בין שני ריבועים, כך:

2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.020² – 2.019² = 4.039 · 1

2.020² – 2.019² = 4.039

• טריניום של הכיכר המושלמת

קח את הריבוע הבא מהצד (a + b) וציין את אזורי הריבועים והמלבנים שנוצרו בתוכו.

ראה את האזור של כיכר גדול יותר ניתן על ידי (a + b)²אך מצד שני ניתן להשיג את שטח הריבוע הגדול ביותר על ידי הוספת הריבועים והמלבנים שבתוכו, כך:

(a + b)² = ה²+ ab + ab + ב²

(a + b)² = ה²+ 2b + ב²

(a + b)² = ה² + 2ab + b²

באופן דומה עלינו:

(א - ב)² = ה² - 2ab + b²

• דוגמא

שקול את הביטוי x² + 12x + 36.

כדי לגרום לביטוי מסוג זה, פשוט זהה את מקדם המשתנה x ואת המקדם הבלתי תלוי, והשווה עם הנוסחה הנתונה, ראה:

איקס² + 12x + 36

ה² + 2ab + b²

עריכת ההשוואות, ראה ש- x = a, 2b = 12 ו- b² = 36; של השוויוניות, יש לנו את זה b = 6, ולכן הביטוי המצורף הוא:

איקס² + 12x + 36 = (x + 6)²

• תיכון טרינום

שקול את טרינום הגרזן² + bx + c. ניתן למצוא את צורתו המעובדת באמצעות השורשים שלךכלומר הערכים של x שמאפסים את הביטוי הזה. כדי לקבוע את הערכים שהופכים את הביטוי הזה לאפס, פשוט פתר את גרזן המשוואה² + bx + c = 0 בשיטה הנוחה ביותר. כאן אנו מדגישים את השיטה הידועה ביותר: שיטת בהאסקרה.

הצורה המחושבת של טרינום הגרזן² + bx + c הוא:

גַרזֶן² + bx + c = a · (x - x₁) · (X - x₂)

• דוגמא

שקול את הביטוי x² + x - 20.

השלב הראשון הוא קביעת שורשי משוואת x.² + x - 20 = 0.

אז הצורה הממוקמת של הביטוי x² + x - 20 הוא:

(x - 4) · (x + 5)

• קוביית ההבדל בין שני מספרים

קוביית ההפרש בין שני מספרים a ו- b ניתנת על ידי:

(א - ב)³ = (a - b) · (א - ב)²
(א - ב)³ = (א - ב) · (א² - 2ab + b²)

• קוביה של סכום שני המספרים

באופן דומה, יש לנו את זה (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , בקרוב:

(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)

פקטוריזציה היא מכשיר שמאפשר רזולוציה של ביטויים אלגבריים.

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (Cefet-MG) כאשר המספר n = 684² – 683², סכום הספרות של n הוא:

א) 14

ב) 15

ג) 16

ד) 17

ה) 18

פתרון הבעיה

חלופה ד. כדי לקבוע את סכום הספרות של n, ראשית אנו גורמים לביטוי, שכן חישוב הריבועים ואז חיסור זו עבודה מיותרת. בהסתמך על הביטוי באמצעות ההבדל בין שני ריבועים, יש לנו:

n = 684² – 683²

n = (684 + 683) · (684 - 683)

n = 1,367 · 1

n = 1,367

לכן, סכום הספרות של n ניתן על ידי 1 + 3 + 6 + 7 = 17

שאלה 2 - (Modified Insper-SP) קבע את ערך הביטוי:

פתרון הבעיה

על מנת להקל על הסימון, בואו נקרא a = 2009 ו- b = 2. זכור כי 2² = 4, אז עלינו:

שימו לב שבמניין השבר יש לנו את ההבדל בין שני ריבועים, כדי שנוכל לכתוב את² ב² = (a + b) (a - b). בקרוב:

a - b = 2009 - 2 = 2007.

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm