אנו רואים א מערכת משוואות כאשר אנו הולכים לפתור בעיות הכוללות כמויות מספריות וכי בדרך כלל אנו נעזרים בשימוש ב משוואות לייצג מצבים כאלה. ברוב הבעיות האמיתיות, עלינו לשקול יותר מאחת משוואה בו זמנית, אשר תלוי אפוא בתכנון מערכות.
ניתן לפתור בעיות כגון עיצוב תעבורה באמצעות מערכות ליניאריות. עלינו להבין את היסודות של מערכת ליניארית, באילו שיטות להשתמש וכיצד לקבוע אותה פִּתָרוֹן.
משוואות
המחקר שלנו יהיה סביב מערכות של משוואות ליניאריות, אז בואו קודם להבין מה a משוואה לינארית.
משוואה תיקרא ליניארית כאשר ניתן לכתוב אותה כך:
ה1 ·איקס1 + ה2 ·איקס2 + ה3 ·איקס3 +... + אללא ·איקסלא = k
באיזה (ה1, ה2, ה3,..., הלא) הם ה מקדמים של המשוואה, (x1, איקס2, איקס3,..., איקסלא) הם ה אינקוגניטוס וחייב להיות ליניארי ו- k הוא ה טווחעצמאי.
דוגמאות
- -2x + 1 = -8 ® משוואה לינארית עם אחת לא ידועה
- 5p + 2r = 5 ® משוואה לינארית עם שני לא ידועים
- 9x - y - z = 0 ® משוואה לינארית עם שלושה לא ידועים
- 8ab + c - d = -9 ® משוואה לא לינארית
יודע יותר: הבדלים בין פונקציה למשוואה
כיצד מחשבים מערכת משוואות?
הפיתרון של מערכת לינארית הוא כל קבוצה מסודרת וסופית מספק את כל משוואות המערכת בו זמנית.. מספר האלמנטים של ערכת הפתרונות תמיד שווה למספר הלא ידועים במערכת.
דוגמא
שקול את המערכת:
הזוג שהוזמן (6; -2) מספק את שתי המשוואות, ולכן זהו הפיתרון של המערכת. הסט שנקבע על ידי פתרונות המערכת נקרא סט פתרונות. מהדוגמה לעיל יש לנו:
S = {(6; -2)}
דרך הכתיבה עם סוגריים וסוגריים מעידה על מערך פתרונות (תמיד בין סוגריים) שנוצר על ידי זוג מסודר (תמיד בין סוגריים).
תַצְפִּית: אם יש שתי מערכות או יותר אותו פתרון קבוע, מערכות אלה נקראות מערכות שוות ערך.
שיטת החלפה
שיטת ההחלפה מורכבת משלושה שלבים. לשם כך, שקול את המערכת
שלב 1
הצעד הראשון הוא לעשות בחר באחת המשוואות (הכי קל) ובודד את אחד האלמונים (הכי קל). לכן,
x - 2y = -7
x = -7 + 2y
שלב 2
בשלב השני, פשוט החלף, במשוואה שלא נבחרה, את הלא נודע מבודד בשלב הראשון. בקרוב,
3x + 2y = -7
3 (-7 + 2y) + 2y = - 5
-21 + 6y + 2y = -5
8y = -5 +21
8y = 16
y = 2
שלב 3
השלב השלישי, מורכב מ החלף ערך שנמצא בשלב השני בכל אחת מהמשוואות. לכן,
x = -7 + 2y
x = -7 + 2 (2)
x = -7 +4
x = -3
לכן, פתרון המערכת הוא S {(-3, 2)}.
שיטת תוספת
כדי לבצע את שיטת התוספת, עלינו לזכור כי ה- מקדמי אחד האלמונים חייבים להיות מנוגדיםכלומר, שיש מספרים שווים עם סימנים מנוגדים. בואו ניקח בחשבון את אותה מערכת כמו שיטת ההחלפה.
ראה כי המקדמים הלא ידועים y לעמוד בתנאינו, לכן זה מספיק להוסיף כל אחד מעמודי המערכת, וקבל את המשוואה:
4x + 0y = -12
4x = -12
x = -3
והחלפת הערך של x בכל אחת מהמשוואות שיש לנו:
x - 2y = -7
-3 - 2y = -7
-2y = -7 + 3
(-1) (-2y) = -4 (-1)
2y = 4
y = 2
לכן, הפתרון של המערכת הוא S {(-3, 2)}
קרא גם: פתרון בעיות על ידי מערכות משוואה
סיווג מערכות ליניאריות
אנו יכולים לסווג מערכת ליניארית לפי מספר הפתרונות. ניתן לסווג מערכת ליניארית ל אפשרי ונחוש, אפשרי ולֹא קָבוּעַ ו בלתי אפשרי.
→ מערכת אפשרית ונחושה (SPD): פיתרון ייחודי
→ מערכת אפשרית ובלתי מוגדרת (SPI): יותר מפתרון אחד
→ מערכת בלתי אפשרית: אין פיתרון
ראה את התוכנית:
תרגיל נפתר
שאלה 1 - (Vunesp) עפרון מכני, שלוש מחברות ועט עולות 33 ביחד. שני עפרונות מכניים, שבע מחברות ושני עטים עולים 76 ריי ביחד. העלות של עיפרון מכני, מחברת ועט, יחד, ב reais היא:
א) 11
ב) 12
ג) 13
ד) 17
ה) 38
פִּתָרוֹן
בואו נקצה את הלא נודע איקס במחיר של כל עפרון מכני, y במחיר של כל מחברת ו z במחיר של כל עט. מההצהרה עלינו:
הכפלת המשוואה העליונה ב- -2 עלינו:
הוספת מונח למונח, נצטרך:
y = 10
החלפת הערך של y שנמצאו במשוואה הראשונה, עלינו:
x + 3y + z = 33
x + 30 + z = 33
x + z = 3
לכן מחיר עיפרון, מחברת ועט הוא:
x + y + z = 13 reais.
חלופה ג
מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm
