מה חוק הסינוסים?

כשצריך לקשר צד ל- a זָוִית על אחד משולש ישר זווית על מנת למצוא את המידות של אחד הצדדים שלו או אחת מהזוויות שלו, נוכל להשתמש ב- יחסים טריגונומטריים: סינוס, קוסינוס ו מַשִׁיק. אפשר גם לחשב את המידה של אחד הצדדים או אחת מהזוויות של a משולשכלכלומר, לאו דווקא משולש נכון. לשם כך, אחת השיטות בהן נעשה שימוש היא חוק החטאים.

חוק החטאים

קחו את המשולש ABC כדוגמה, רשום ב הֶקֵף של רדיוס r.

במקרה כזה, הצדדים ו זוויות יש אמצעים כלשהם. אז יש לנו:

ה = ב = ç = 2r
sinα sinβ sinθ

במשולש זה, a, b ו- c הם המידות של צלעותיו; α, β ו- θ הם הזוויות הפנימיות שלהם, וה- sines של זוויות אלה יש אותם ערכים כמו הסינס שנמצא ב- שולחנותטריגונומטרי.

בתחילה שבריר, a הוא המדד בצד הנגדי של sinα; בשבר השני, b הוא המידה הפוכה ל- sinβ, ובשבר השלישי, שים לב כי c הוא המידה הפוכה sinθ. אז יש פּרוֹפּוֹרצִיָה בין היחס שנוצר על ידי המידה של צד אחד לבין הסינוס של זָוִית הפוך לאותה מידה.

שימו לב גם כי כל אחד מהיחסים הללו שווה לקוטר המעגל המקיף את המשולש.

לרוב יש צורך לחשב את המידה של צד אחד של משולש, בידיעה את המדידות מזווית הפוכה לו, מהצד השני ומהזווית הפוכה לאותו צד אחר, עלינו להשתמש ה

חוק החטאים. ניתן להשתמש בחוק זה גם כדי למצוא את המידה של אחת הזוויות של a משולש, אם אנו מכירים את המידות מזווית אחרת ומצדדים מנוגדים של שתי הזוויות הללו.

דוגמאות

1 – חשב את המידה של הצד AB על ה- משולש הַבָּא.

שים לב שצד AB, המיוצג על ידי x, מנוגד ל- זָוִית 45 °, וצד ה- CB, שגודלו 10 ס"מ, מנוגד לזווית של 30 °. כדי שנוכל להשתמש ב- חוֹקמsines:

ה = ב
sinα sinβ

איקס =  10
sen45 sen30

באמצעות המאפיין הבסיסי של פרופורציות, יש לנו:

x · sen30 = 10 · sen45

בטבלת הערכים טריגונומטרי ראוי לציון, sen45 = √2 / 2 ו- sen30 = 1/2. החלפת ערכים אלה יש לנו:

איקס = 10√2
22

x = 10√2 ס"מ

2 – חשב את מדידת הצד של ה- CB על משולש הַבָּא.

צלע CB, המיוצג על ידי x, מנוגד לזווית של 45 °. שים לב גם כי הצד AB, אשר מודד 10 ס"מ, הוא הפוך לזווית של 120 °. משתמש ב חוֹקמsines, אנחנו יכולים לכתוב:

ה = ב
sinα sinβ

איקס = 10
sen45 sen120

x · sen120 = 10 · sen45

כדי להמשיך, זכור כי senx = sin (180 - x), ולכן: sin120 = sin (180 - 120) = sen60. החלפת הערך יש לנו:

x · sen60 = 10 · sen45

איקס·√3 = 10·√2
22

x · √3 = 10 · √2

x = 10·√2
√3

x = 10√3√2
3

x = 10√6
3

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-lei-dos-senos.htm