קבע פעולות: מה הן ואיך לפתור

המוטיבציה לחקר פעולות בין סט לסט נובעת מהקלות שהם מביאים לפתרון בעיות מספריות יומיומיות. נשתמש בכמה כלים גרפיים, כגון ה- דיאגרמת ון-אילר, להגדרת הפעולות העיקריות בין שתיים או יותר סטיםכלומר: איחוד קבוצות, צומת סטים, הבדל בין קבוצות וסט משלים.

איחוד סטים

האיחוד בין שתי קבוצות או יותר יהיה מערך חדש המורכב מאלמנטים השייכים לפחות לאחת הסטים המדוברים. באופן רשמי מערך האיחוד ניתן על ידי:

תן ל- A ו- B להיות שתי קבוצות, האיחוד ביניהן נוצר על ידי אלמנטים השייכים לקבוצה A או לקבוצה B.

במילים אחרות, פשוט הצטרף לאלמנטים של A עם אלה של B.

דוגמא:

א) שקול את הסטים A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ו- B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}:

A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

ב) A = {x | x הוא מספר זוגי טבעי} ו- B {y | y הוא מספר אי זוגי טבעי}

האיחוד של כל האירועים הטבעיים וכל הסיכויים הטבעיים מביא לכל מערך המספרים הטבעיים, ולכן עלינו:

צומת סטים

הצומת בין שתי קבוצות או יותר יהיה גם מערך חדש שנוצר על ידי אלמנטים השייכים, בו זמנית, לכל הסטים המעורבים. רשמית יש לנו:

תן ל- A ו- B להיות שתי קבוצות, הצומת ביניהן נוצר על ידי אלמנטים השייכים לקבוצה A ולקבוצה B. לפיכך, עלינו לשקול רק את האלמנטים הנמצאים בשתי המערכות.

דוגמא

א) שקול את הסטים A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ו- C = {0, –1, –2, –3 }

A ∩ B = {2, 4, 6}

A ∩ C = {}

B ∩ C = {0}

הסט שנקרא ללא אלמנטים נקרא סט ריק וניתן לייצג אותו בשתי דרכים.

קרא גם: הגדר הגדרה

הבדל בין סטים

ההבדל בין שתי קבוצות, A ו- B, ניתן על ידי האלמנטים השייכים ל- A ו- לא שייכים לב.

בתרשים Ven-Euler, ההבדל בין קבוצות A ו- B הוא:

דוגמא

שקול את הקבוצות A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7} ו- C = {}. בואו נקבע את ההבדלים הבאים.

A - B = {5}

A - C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C - A = {}

שים לב שבמערכת א '- ב' בתחילה אנו לוקחים את קבוצה א 'ו"מוציאים "את האלמנטים מקבוצה ב'. בקבוצת A - C, אנו לוקחים את ה- A ו"מוציאים "את הריק, כלומר אין אלמנטים. לבסוף, ב- C - A, אנו לוקחים את הסט הריק ו"מוציאים "את האלמנטים מ- A, אשר, בתורם, כבר לא היו שם.

קרא גם: סימנים חשובים לגבי סטים

סטים משלימים

שקול קבוצות A ו- B, כאשר קבוצה A כלולה בקבוצה B, כלומר, כל יסוד A הוא גם יסוד של B. ההבדל בין הסטים, B - A, נקרא השלמה של A ביחס ל- B. במילים אחרות, המשלים נוצרים על ידי כל אלמנט שאינו שייך לקבוצת A ביחס לקבוצה B, בה הוא כלול.

דוגמא

שקול את הסטים A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ו- B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

ההשלמה של A ביחס ל- B היא:

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - שקול את הסטים A = {a, b, c, d, e, f} ו- B = {d, e, f, g, h, i}. קבע (A - B) U (B - A).

פִּתָרוֹן

בתחילה נקבע את הקבוצות A - B ו- B - A ואז נבצע את האיחוד ביניהן.

A - B = {a, b, c, d, e, f} - {d, e, f, g, h, i}

A - B = {a, b, c}

B - A = {d, e, f, g, h, i} - {a, b, c, d, e, f}

B - A = {g, h, i}

לכן, (A - B) U (B - A) הוא:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

שאלה 2 - (Vunesp) נניח ש- A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} ו- A - B = {a, b, c}, ואז:

א) B = {f, g, h}

ב) B = {d, e, f, g, h}

ג) B = {}

ד) ב = {ד, ה}

ה) B = {a, b, c, d, e}

פִּתָרוֹן

חלופה ב.

לסידור האלמנטים בתרשים Ven-Euler, על פי ההצהרה, יש לנו:

לכן, הסט B = {d, e, f, g, h}.

מאת רובסון לואיז
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm