תְמוּרָה הוא אחד הנושאים הנדונים בתחומי ניתוח קומבינטורי במתמטיקה. כשיש כל רצף מסודר עם מספר "n" של אלמנטים מובחנים, כל רצף אחר שנוצר על ידי אותם "n" רכיבים מסודרים מחדש נקרא תְמוּרָה.
לפיכך, אנו יכולים לומר כי אם A הוא תמורה של B, אז A ו- B מורכבים מאותם יסודות, אך מסודרים אחרת.
מאיפה נובעות תמורות?
תמורות הן מקרים בודדים של סידורים פשוטים. אלה הם קבוצות מסודרות של קבוצה A של אלמנטים, כך שלקבוצות יש מספר פחות או שווה של אלמנטים מאשר קבוצה A.
הסט A = {X, Y, Z}, {X, Y} ו- {Y, X} הוא a סידור פשוט של האלמנטים מ- A שנלקחו 2 עד 2. מספר האלמנטים ב- A מיוצג על ידי האות "n". או מספר הזמנה, או מספר כיתה, הוא "k". מספר זה הוא מספר האלמנטים בכל מערך פשוט (במקרה של הדוגמה, מספר זה הוא 2).
הרשימה עם כל הסידורים הפשוטים של שלושת האלמנטים של A שנלקחו 3 עד 3 היא כדלקמן:
XYZ, XZY, ZXY, ZYX, YZX ו- YXZ
רשימה זו היא בדיוק המקרה המסוים של הסדרים המקבלים את שם התמורה.
חישוב סידורים פשוטים
מספר המערכים הפשוטים של קבוצה A, שיש לא אלמנטים שנלקחו k ה אה, ניתן לחשב לפי הנוסחה הבאה:
הלא, בסדר = לא!
(n - k)!
הגדרת חלופה
תן ל- A להיות סט עם
לא אלמנטים מובחנים. אתה סידורים פשוטים של אלמנטים אלה שנלקחו n עד n נקראים תמורות פשוטות של א. לפיכך, כדי שזו תהיה תמורה, יש צורך שמספר ההזמנה k להיות שווה למספר לא של אלמנטים של A. תוצאות החישוב הבאות:אם ניקח את הנוסחה המשמשת למערכים פשוטים ומספר ההזמנה k = n, יהיה לנו:
זו הנוסחה המשמשת לחישוב מספר התמורות של האלמנטים של הקבוצה A, המסומנת בדרך כלל על ידי Pלא. בקרוב:
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום;)
פלא = אלא לא = n!
פלא = n!
דוגמא
חשב את מספר התמורות של האותיות של המילה LOVE.
פִּתָרוֹן:
שים לב שלמילה LOVE יש 4 אלמנטים מובחנים. כדי לחשב את מספר התמורות של מילה זו, נשתמש בנוסחה שלעיל:
פלא = n!
פ4 = 4!
פ4 = 4·3·2·1
פ4 = 24
לכן, ניתן ליצור 24 תמורות שונות לאותיות המילה LOVE. חלופי מילים נקראים גם אנגרמות.
תמורות עם אלמנטים חוזרים ונשנים
בכל סט יכול להיות אלמנטים חוזרים. בְּ תמורות קבוצה זו צריכה לשקול את חזרתם של אלמנטים אלה, מכיוון שסדר הופעתם אינו חשוב, בשונה מסדר האלמנטים האחרים בערכה. אם נשנה רק את שני ה- "A" של המקום במילה AMAR, נקבל את אותה המילה. מילים דומות אינן תמורותלכן, יש לחסר חזרה זו בנוסחת התמורות.
כדי להפחית את כל החזרות האפשריות של אלמנטים באחד תמורה עם אלמנטים חוזרים ונשנים, עלינו לעשות את הפעולות הבאות:
תן ל- A להיות סט עם לא אלמנטים, מתוכם k אלמנטים חוזרים על עצמם. הנוסחה לחישוב התמורות של A היא:
פלאk = לא!
k!
אם קבעו A, עם לא אלמנטים, להחזיק k חזרות על אלמנט ו j חזרות על אחר, החישוב יקרה באופן הבא:
פלאחה חה = לא!
k! · j!
אם קבוצה A, עם לא אלמנטים, יש k חזרות על אלמנט, j חזרות של אחר,..., M חזרות של אחר, הנוסחה לובשת את הצורה הבאה:
פלאk, j,..., m = לא!
k! · j! ·... ·M!
דוגמא
חשב את מספר האנגרמות של המילה ANTONIA.
פִּתָרוֹן:
כדי לפתור את הדוגמה, פשוט חישבו את תמורות עם אלמנטים חוזרים ונשנים של המילה אנטוניה. הן האות A והן האות N חוזרות על עצמן פעמיים. שעון:
פ72,2 = 7!
2!·2!
פ72,2 = 7·6·5·4·3·2·1
2·1·2·1
פ72,2 = 5040
4
פ72,2 = 1260
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
