מהם מספרים רציונליים?

או מַעֲרֶכֶת מ מספריםרַצִיוֹנָלִי נוצר על ידי כל האלמנטים שניתן לכתוב בצורה של שבריר. כך שאם ניתן לייצג את המספר על ידי שבר, אז זהו מספר רציונלי.

כדי להבין היטב את ההגדרה של מספריםרַצִיוֹנָלִי וכל האפשרויות שההגדרה הזו וזה מַעֲרֶכֶתמספרי לערב, עליך לזכור את ההגדרה של שבריר, אשר יידונו בהמשך.

מהו שבר?

אחד שבריר הוא חלוקה בין מספרים שלמיםמיוצג באופן הבא:

ה
ב

אז כדי שזה יהיה שבריר, המספרים "a" ו- "b" חייבים להיות מספרים שלמים והמספר "b" תמיד לא יהיה אפס.

הגדרה רשמית של מספר רציונלי

מההגדרה של שברים, הסט של מספריםרַצִיוֹנָלִי ניתן לייצג באופן הבא:

בהגדרה זו אנו אומרים כי מַעֲרֶכֶת מ מספריםרַצִיוֹנָלִי מורכב מכל השברים של "a" דרך "b", כאשר "a" הוא a מספרכֹּל ו- "b" הוא מספר שלם שאינו אפס.

מספרים שניתן לכתוב כשבריר

בידיעה כי מַעֲרֶכֶתמרַצִיוֹנָלִי נוצר על ידי כל המספרים שניתן לכתוב בצורה של שבריר, להראות שמספר הוא רציונלי, רק להראות שיש דרך לכתוב אותו בצורה זו. ניתן לכתוב את המספרים הבאים כשבר:

1 - השברים עצמם

כל שבר הוא א מספררַצִיוֹנָלִי, כפי שהוא מטבע הדברים כבר כתוב בצורה הדרושה עבור

2 - מספרים שלמים

כל

מספרכֹּל ניתן לכתוב בצורה של שבריר. לשם כך, פשוט חלקו אותו ב- 1, מכיוון שכל מספר חלקי 1 שווה לעצמו.

המספר - 7, למשל, הוא מספר שלם. כדי לכתוב את זה כשבר, פשוט עשה:

– 7
1

שים לב שהכל שברים המקבילות לכך הן דרך כתיבה נוספת - 7 בצורת שבר.

3 - עשרוניות סופיות

כל נקודהסוֹפִיכלומר, יש לו מספר מוגבל של מקומות עשרוניים, ניתן לכתוב בצורה של שבריר. בשביל זה, רק זכרו שכל עשרונית סופית היא תוצאה של חלוקה בכוח כלשהו של בסיס 10.

דוגמה: 2.455 הוא א נקודהסוֹפִי שיש לו שלוש מקומות עשרוניים. משמעות הדבר היא שאחד השברים המקבילים לו מכנה השווה ל -10³. שבר זה הוא:

2,455 = 2455
10³

בדרך זו, הפסיק מסולק ומספר זה מחולק בכוח של בסיס 10 ומעריך השווה למספר בתיםעשרוניות.

4 - מעשר תקופתי

אחד מַעֲשֵׂרתְקוּפָתִי הוא עשרון אינסופי בו יש תקופה, כלומר חזרה בתוך ה עשרוניות. דוגמא:

1,3333….

הוא מַעֲשֵׂרתְקוּפָתִי של תקופה 3.

1,454545…

הוא מַעֲשֵׂרתְקוּפָתִי מתקופה 45.

0,4562626262…

הוא מַעֲשֵׂרתְקוּפָתִי תקופה 62 ואנטי-תקופה 45.

תמיד ניתן לכתוב עשרוני תקופתי בצורה של שבריר. לשם כך, קחו את הדוגמה של מעשר 2.565656 ...

שימו לב שתקופת המעשר הזו היא 56, כלומר יש שתי ספרות בתקופה שלה. להתאים זאת מַעֲשֵׂר ל- x והכפל את המשוואה הזו ב- 10². שים לב שהמערך של עוצמת הבסיס 10 תמיד יהיה שווה למספר הספרות בתקופה.

x = 2.565656 ...

100x = 256.5656 ...

כעת, גרע את המשוואה הראשונה מהשנייה:

100x - x = 256.5656... - 2.565656 ...

שים לב שהחלק העשרוני שיש לחסר הוא שווה, ולכן החלקים העשרוניים יביאו לאפס לחיסור זה. בקרוב:

99x = 256 - 2

99x = 254

בפתרון המשוואה, נמצא את שברירגנרטריקס:

99x = 254

x = 254
99

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-racionais.htm