ה פונקציה הפוכה, כפי שהשם מרמז, הוא ה פונקציה f (x)-1, שעושה בדיוק את ההפך של הפונקציה f (x). כדי שפונקציה תתמוך בהפוך, היא חייבת להיות bijectorכלומר, מזרק ומזריק בו זמנית. חוק ההיווצרות של פונקציה הפוכה עושה את ההפך ממה שהפונקציה f (x) עושה.
לדוגמא, אם הפונקציה לוקחת ערך מ- תְחוּם ומוסיף 2, הפונקציה ההפוכה, במקום להוסיף, מחסרת 2. למצוא את ה חוק היווצרות פונקציות הפוכות לא תמיד מדובר במשימה קלה, מכיוון שיש צורך להפוך את הלא ידועים x ו- y, כמו גם לבודד את y במשוואה החדשה.
קרא גם:פונקציה - כל מה שאתה צריך לדעת כדי לשלוט בנושא
מתי פונקציה תומכת בהפוך?
תפקיד הוא הפיךכלומר, יש לו פונקציה הפוכה, אם, ורק אם, כן bijector. חשוב לזכור מה א פונקציית bijector, שהיא פונקציה מַזרֵקכלומר, לכל רכיב בתמונה יש כתב תחום אחד. משמעות הדבר היא כי אלמנטים שונים בקבוצה A צריכים להיות קשורים לאלמנטים שונים ב- קבוצה B, כלומר, לא יכולים להיות שניים או יותר אלמנטים של קבוצה A שיש להם את אותו התואם ב- סט ב '
תפקיד הוא הנחה אם התמונה שווה לדומיין הנגדיכלומר, אין רכיב בקבוצה B שאין לו אלמנט בקבוצה A המשויך אליו.
תנו לפונקציה f: A → B, כאשר A הוא תחום ו- B הוא דומיין נגדי, הפונקציה ההפוכה של f תהיה הפונקציה שתוארה על ידי f-1 : B → A, כלומר התחום והתחום הנגדי הם הפוכים.
דוגמא:
הפונקציה f: A → B היא תוויתית, מכיוון שהיא מזריקה (אחרי הכל, אלמנטים נפרדים ב- A קשורים אלמנטים מובחנים ב- B) וזה גם משער, מכיוון שלא נותר שום אלמנט בקבוצה B, כלומר תחום הנגד זהה לזה מַעֲרֶכֶת תמונה.
לכן פונקציה זו היא בלתי הפיכה, וההפך שלה הוא:
כיצד נקבע חוק היווצרות הפונקציה ההפוכה?
כדי למצוא את חוק היווצרות הפונקציה ההפוכה, אנו זקוקים להפוך את הלא ידועיםכלומר החלפת x ב- y ו- y ב- x ואז בידוד ה- y הלא ידוע. לשם כך חשוב שהפונקציה תהיה הפיכה, כלומר bijector.
→ דוגמה 1
מצא את חוק היווצרות הפונקציה ההפוכה של f (x) = x + 5.
פתרון הבעיה:
אנו יודעים ש f (x) = y, אז y = x + 5. בביצוע ההיפוך של x ו- y, נמצא את הדברים הבאים משוואה:
x = y + 5
עכשיו, בואו נבודד את ה- y:
- 5 + x = y
y = x - 5
ברור שאם f (x) מוסיף 5 לערך x, אז f (x) - 1 יעשה את ההפך, כלומר x מינוס 5.
→ דוגמה 2
בהתחשב בפונקציה שחוק ההיווצרות שלה הוא f (x) = 2x - 3, מה יהיה חוק ההיווצרות של הפוך שלה?
→ דוגמה 3
חשב את חוק ההיווצרות של הפוך הפונקציה y = 2איקס.
פתרון הבעיה:
y = 2איקס
שינוי x עבור y:
x = 2y
פונה לוֹגָרִיתְם בשני הצדדים:
עֵץ2x = יומן22y
עֵץ2x = יוג22
עֵץ2x = y · 1
עֵץ2x = y
y = יומן2איקס
קרא גם: הבדלים בין פונקציה למשוואה
גרף פונקציה הפוכה
הגרף של הפונקציה ההפוכה f -1 זה תמיד יהיה סימטרי לגרף הפונקציה f ביחס לקו y = x, המאפשר לנתח את ההתנהגות של אלה פונקציות, אם כי איננו יכולים לתאר את חוק היווצרות הפונקציות ההפוכות במקרים מסוימים, עקב שלה מוּרכָּבוּת.
קרא גם: כיצד לשרטט פונקציה?
תרגילים נפתרו
1) אם f-1 הוא הפונקציה ההפוכה של f, שעוברת מ- R ל- R, שחוק ההיווצרות שלה f (x) = 2x - 10, הערך המספרי של f -1(2) é:
עד 1
ב) 3
ג) 6
ד) -4
ה) -6
פתרון הבעיה:
→ שלב 1: מצא את ההפך של f.
→ שלב שני: החלף 2 במקום x ב- f -1(איקס).
חלופה ג '.
2) תן f: A → B להיות פונקציה שחוק ההיווצרות שלה הוא f (x) = x² + 1, כאשר A {-2, -1, 0, 1, 2} ו- B = {1,2,5}, נכון לומר ש:
א) הפונקציה היא בלתי הפיכה, כפי שהיא bijector.
ב) הפונקציה אינה הפיכה, מכיוון שהיא אינה מזריקה.
ג) הפונקציה אינה הפיכה, מכיוון שהיא איננה אמורה להיות אמיתית
ד) הפונקציה אינה הפיכה, מכיוון שהיא איננה אמיתית ואינה מזריקה.
ה) הפונקציה אינה הפיכה, מכיוון שהיא היא bijector.
פתרון הבעיה:
כדי שהפונקציה תהיה בלתי הפיכה, היא צריכה להיות ביווטיבית, כלומר, להנחות ולהזריק. ראשית בואו ננתח אם זה משער.
כדי שהפונקציה תהיה סורקטיבית, כל האלמנטים של B חייבים להיות מקבילים ב- A. כדי לדעת זאת, בואו נחשב כל אחד מהערכים המספריים שלו.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
שים לב שלכל האלמנטים של B {1,2,5} יש מקביל ב- A, מה שהופך את הפונקציה הנחה.
כדי שהפונקציה הזו תזריק, אלמנטים שונים מ- A חייבים לכלול תמונות נפרדות ב- B, מה שלא קורה. שים לב ש- f (-2) = f (2) וגם ש- f (-1) = f (1), מה שהופך את הפונקציה אל תזריקי. מכיוון שהוא אינו מזרק, הוא גם לא הפיך; לָכֵן, חלופה ב.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm
