מערכות לינאריות: מהן, איך לפתור, סוגים

לִפְתוֹר מערכותלינארי זו משימה חוזרת מאוד ללימודים בתחומי מדעי הטבע והמתמטיקה. החיפוש אחר ערכים לא ידועים הוביל לפיתוח שיטות לפתרון מערכות לינאריות, כמו שיטת התוספת, השוויון והחלפה למערכות שיש בהן שתי משוואות ושני לא ידועים, וכלל Crammer וקנה המידה, הפותרים מערכות ליניאריות של שתי משוואות, אך נוחות יותר למערכות עם יותר משוואות. מערכת ליניארית היא קבוצה של שתיים או יותר משוואות עם לא ידוע אחד או יותר.

קרא גם:מה הקשר בין מטריצות למערכות לינאריות?

מערכות לינאריות.

משוואה לינארית

העבודה עם משוואות קיימת עקב צריך למצוא ערכים לא ידועים לא ידועים. אנו מכנים זאת משוואה כשיש לנו ביטוי אלגברי עם שוויון, והוא מסווג כליניארי כאשר המעריך הגדול ביותר מבין הלא ידועים שלו הוא 1, כפי שמוצג בדוגמאות הבאות:

2x + y = 7 → משוואה ליניארית עם שני לא ידועים

a + 4 = -3 → משוואה לינארית עם אחת לא ידועה

באופן כללי, ניתן לתאר משוואה ליניארית על ידי:

ה₁איקס₁ + את₂איקס₂ + a3x3... + a_לאאיקס_לא = ג

אנו מכירים כמערכת משוואה כאשר יש יותר ממשוואה ליניארית אחת. נתחיל במערכות ליניאריות של שני אלמונים.

פתרון מערכות ליניאריות

• מערכות לינאריות עם שתי משוואות תואר ראשון ושתי לא ידועות

כדי לפתור מערכת של שתי משוואות ושתי לא ידועות, ישנן כמה שיטות, שלושת הידועים ביותר הם:

• שיטת השוואה
• שיטת תוספת
• שיטת החלפה

כל אחד מהשלושה יכול לפתור מערכת לינארית של שתי משוואות ושתי לא ידועות. שיטות אלה אינן יעילות למערכות עם יותר משוואות, מכיוון שישנן שיטות ספציפיות אחרות לפתרונן.

• שיטת החלפה

שיטת ההחלפה מורכבת מ לבודד את אחד האלמונים באחת המשוואות ו בצע את ההחלפה במשוואה האחרת.

דוגמא:

שלב ראשון: לבודד את אחד האלמונים.

אנו מכנים אני המשוואה הראשונה ו- II המשוואה השנייה. מנתחים את השניים, בואו בחר את הלא נודע שהכי קל לבודד. שים לב שב- משוואה אני → x + 2y = 5, ל- x אין מקדם, מה שמקל על הבידוד, ולכן נכתוב את המשוואה שאני אוהב את זה:

אני → x + 2y = 5

אני → x = 5 - 2y

שלב שני: להחליף אני ב II.

עכשיו שיש לנו משוואה I עם x בלבד, במשוואה II, אנחנו יכולים להחליף את x ב- 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

החלפת x ב- 5 - 2y:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

כעת, כאשר למשוואה יש רק לא ידוע אחד, ניתן לפתור אותה כדי למצוא את הערך של y.

בידיעת הערך של y, אנו נמצא את הערך של x על ידי החלפת הערך של y במשוואה I.

אני → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

אז הפיתרון של המערכת הוא S = {3,1}.

• שיטת השוואה

שיטת ההשוואה מורכבת מ בידוד אלמוני בשתי המשוואות והשווה ערכים אלה.

דוגמא:

שלב ראשון: בואו אהיה המשוואה הראשונה ו- II השנייה, בואו נבודד את אחד מהלא ידועים ב- I ו- II. אם נבחר לבודד את ה- x הלא ידוע, עלינו:

שלב שני: השווה בין שתי המשוואות החדשות, שכן x = x.

שלב שלישי: החלף את הערך של y ב- -2 באחת המשוואות.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

אז הפיתרון של מערכת זו הוא הסט S = {2, -2}.

ראה גם: מהם ההבדלים בין פונקציה למשוואה?

• שיטת תוספת

שיטת החיבור מורכבת מביצוע הכפל של כל המונחים של אחת המשוואות, באופן שכאשר, כאשר הוספת משוואה I למשוואה II, אחד מהלא ידועים שלה שווה לאפס.

דוגמא:

שלב ראשון: הכפל אחת מהמשוואות כך שהמקדמים יהיו הפוכים.

שימו לב שאם נכפיל את משוואה II ב -2, יש לנו 4y במשוואה II ו- -4y במשוואה I, וזה על ידי אנו מוסיפים את I + II, נקבל 0y, אז נכפיל את כל המונחים במשוואה II ב -2 כך שזה לִקְרוֹת.

אני → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

שלב שני: בצע את הסכום I + 2 · II.

שלב שלישי: החלף את הערך של x = 3 לאחת המשוואות.

• מערכות לינאריות עם שלוש משוואות תואר ראשון ושלוש לא ידועים

כאשר למערכת יש שלוש לא ידועות, אנו נוקטים בשיטות פתרון אחרות. כל השיטות הללו מתייחסות למקדמים למטריצות, והשיטות הנפוצות ביותר הן כלל Crammer או קנה המידה. עבור הרזולוציה בשתי השיטות, יש צורך לייצג את ייצוג המטריצה ​​של המערכת, כולל מערכת 2x2 באמצעות מטריצה. ישנם שני ייצוגים אפשריים, המטריצה ​​המלאה והמטריצה ​​השלמה:

דוגמא:

המערכת 

יכול להיות מיוצג על ידי מטריצה ​​מלאה

ועבור מטריצה ​​לא שלמה

• שלטון Crammer

כדי למצוא פתרונות למערכת 3x3, עם לא ידוע x, y ו- z, באמצעות שלטונו של קרמר, יש צורך לחשב את הקובע של המטריצה ​​השלמה ואת הווריאציות שלה. אז עלינו:

D → הקובע של המטריצה ​​הלא שלמה של המערכת.

ד_איקס → הקובע של המטריצה ​​השלמה של המערכת, ומחליף את עמודת x בעמודת המונחים העצמאיים.

ד_y → הקובע של המטריצה ​​הלא שלמה של המערכת, ומחליף את העמודה של y בעמוד המונחים העצמאיים.

ד_z → הקובע של המטריצה ​​השלמה של המערכת, ומחליף את העמודה של z בעמוד המונחים העצמאיים.

לכן, כדי למצוא את הערך של הלא ידועים שלך, ראשית עלינו לחשב את קוֹצֵב ד, ד_איקס, ד_y הקשורים למערכת.

דוגמא:

שלב ראשון: לחשב את ד '

שלב שני: לחשב את ד_איקס.

שלב שלישי: אז נוכל למצוא את הערך של x כי:

שלב רביעי: לחשב את ד_y.

שלב 5: אז נוכל לחשב את הערך של y:

שלב 6: עכשיו כשאנחנו יודעים את הערך של x ו- y, בשני השורות נוכל למצוא את הערך של z על ידי החלפת הערך של x ו- y ובידוד z. אפשרות נוספת היא חישוב ד '_z.

החלפת x = 0 ו- y = 2 במשוואה הראשונה:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

לכן, פתרון המערכת הוא המכרז (0.2, -1).

גישה גם: פתרון בעיות על ידי מערכות משוואה

• דֵרוּג

שיטה נוספת לפתרון מערכות ליניאריות היא קנה המידה, בה אנו משתמשים רק במטריצה ​​המלאה ובפעולות בין השורות על מנת לבודד את הלא ידוע שלהם. בואו להגדיל את המערכת למטה.

שלב ראשון: כתוב את המטריצה ​​המלאה המייצגת את המערכת.

להיות ל₁, ל₂ ול₃ בהתאמה לשורות 1, 2 ו- 3 של המטריצה, נבצע פעולות בין L₁ ול₂ ול₁ ול₃, כך שהתוצאה הופכת את המונחים שנמצאים בעמודה הראשונה בשורה השנייה והשלישית לשווים לאפס.

בניתוח השורה השנייה של המטריצה, בואו נחליף אותה בתוצאה של L2 → -2 · L1 + L2, על מנת לאפס את המונח a21.

ה₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

ה₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

ה₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

ה₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

אז ה- L₂ יהיה 0 -3 7 -17.

בניתוח השורה השלישית של המטריצה, בואו נחליף אותה בתוצאה של L3 → 3L1 + L_2, על מנת לאפס את המונח ל-_31.

ה₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

ה₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

ה₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

ה₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

אז ה- L₃ יהיה 0 8 -8 24.

שים לב שכולם מתחלקים ב- 8, כך שקו L₃ שמור על זה פשוט, בוא נחלק את זה ב 8.

ל₃ → ל₃ : 8 יהיה: 0 1-1 3.

אז המטריצה ​​החדשה של המשוואה המוקטנת תהיה:

כעת המטרה היא לאפס את העמודה y בשורה השלישית, נבצע פעולות בין L.₂ ול₃, במטרה לאפס את העמודה השנייה של אחד מהם.

נחליף את L3 ב- L3 → L₂ + 3 ליטר₃.

ה₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

ה₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

ה₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

ה₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

אז ל₃ יהיה: 0 0 4 -8.

המטריצה ​​המוקטנת החדשה תהיה:

כעת, כאשר אנו מייצגים את המטריצה ​​הזו כמערכת שוב, נוסיף את x, y ו- z לעמודות, נמצא את הדברים הבאים:

לאחר מכן נוכל למצוא את הערך של כל אחד מהלא ידועים. ניתוח משוואה III עלינו:

אם z = -2, נחליף את הערך של z למשוואה השנייה:

לבסוף, במשוואה הראשונה, נחליף את הערך של y ו- z למציאת הערך של x.

ראה גם: מערכת אי-שוויון מדרגה 1 - כיצד לפתור אותה?

סיווג מערכת ליניארי

מערכת ליניארית היא קבוצה של משוואות ליניאריות, שיכולות להיות בעלות כמה לא ידועים ומספר משוואות. ישנן מספר שיטות לפתור אותה, ללא קשר למספר המשוואות. ישנם שלושה דירוגים למערכת ליניארית.

• מערכת אפשרית מוגדרת (SPD): כשיש לך פתרון יחיד.
• מערכת אפשרית בלתי מוגדרת (SPI): כשיש לו פתרונות אינסופיים.
• מערכת בלתי אפשרית(סִי): כשאין פיתרון.

תרגילים נפתרו

שאלה 1 (IFG 2019) שקול את סכום המידות של בסיס ואת הגובה יחסית לבסיס המשולש השווה ל 168 ס"מ ואת ההפרש שווה ל 24 ס"מ. נכון לקבוע שמדידות הבסיס והגובה יחסית למדוד בסיס זה, בהתאמה:

א) 72 ס"מ ו 96 ס"מ

ב) 144 ס"מ ו- 24 ס"מ

ג) 96 ס"מ ו 72 ס"מ

ד) 24 ס"מ ו 144 ס"מ

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

תנו ל- h → גובה ו- b → בסיס, ואז יש לנו את המערכת הבאה:

לפי שיטת התוספת, עלינו:

כדי למצוא את הערך של h, בואו נחליף את b = 96 ס"מ למשוואה הראשונה:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

h = 72 ס"מ

שאלה 2 המטריצה ​​הלא שלמה המייצגת את המערכת הליניארית הבאה היא:

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

המטריצה ​​הלא שלמה היא זו שיש לה את המקדמים x, y ו- z, כך שזו תהיה מטריצה ​​3x3. ניתוח החלופות, זו המכילה את מטריצת 3x3 עם הסימנים הנכונים היא האות C.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm