לוגריתם: מה זה, איך מחשבים, תרגילים

לוֹגָרִיתְם הוא כלי חשוב מאוד לא רק לתחום מתמטיקה, שכן יש לו יישומים בכמה תחומי מדע, כגון גאוגרפיה, כימיה ומחשוב.

מבחינה היסטורית הלוגריתם מתעורר על מנת להקל על חשבונות שהופיעו לעתים קרובות בכמה תחומים מדעיים. ג'ון נאפייר היה חלוץ בחקר הלוגריתמים והצליח לפתח את המבצע המסוגל להפוך מוצרים ב סְכוּם, חלוקות ל חיסורים ו פוטנציאלים בכפל.

על ידי הגדרת פעולה זו, לאורך זמן, מתמטיקאים אחרים פורמלו הגדרות ותכונות, בנוסף, הידוע שולחן יומן.

הגדרת הלוגריתם

שרטט את הגרף של פונקציית הלוגריתם (מימין) וההפך האקספוננציאלי שלה (שמאל).

שקול שניים מספרים אמיתיים חִיוּבִי ה ו ב, עם עד ≠ 0. הלוגריתם של ב בבסיס ה הוא המספר איקס אם ורק אם, ה גודל ל איקס שווה למספר ב.

מִנוּחַ:

הבסיס →

ב → לוגריתם

x → לוגריתם

ראה את הדוגמאות:

כאשר ללוגריתם יש בסיס השווה ל- 10, הוא נקרא לוגריתם עשרוני. בעת רישום יומן עשרוני אין צורך לכתוב את בסיס 10. מוסכם כי:

קרא גם: מערכת לוגריתם עשרונית

כיצד מחשבים לוגריתם?

כדי לחשב לוגריתם, עלינו לחפש a מספר שכאשר אנו מעלים את הבסיס, התוצאה היא הלוגריתם. ניקח לדוגמא את הלוגריתם של 36 בבסיס 6 בדוגמה הקודמת, עלינו למצוא מספר שכאשר אנו מעלים את בסיס 6, הוא יביא ל -36. כמו 6

² = 36, עם תשובה 2. בואו נסתכל על דוגמאות נוספות:

1) יומן 1000. כדי לחשב לוגריתם זה, עלינו למצוא מספר, שהוגדל ל -10, שווה ל- 1000, כלומר 10^איקס = 1000.

לפתרון המשוואה האקספוננציאלית יש לנו:

10^איקס=1000

10^איקס = 10³

x = 3

לָכֵן,

1. חישוב הלוגריתם:

עלינו למצוא מספר אשר לשורש 7 שווה לארבעים ותשע עשרה. לפתרון המשוואה יש לנו:

קרא עוד: משוואה אקספוננציאלית - משוואה עם לא ידוע במעריך

מצב קיום לוגריתם

שקול את הלוגריתם הבא:

הביטוי מוגדר רק כאשר הבסיס גדול מאפס ושונה מאחד וכשהבסיס גדול מאפס, כלומר:

a> 0 ו- ≠ 0

ב> 0

בעלות על לוגריתמים

ראה את העיקריות להלן. תכונות של לוגריתמים. כל הלוגריתמים המובאים כאן עומדים בתנאי הקיום.

• תכונה 1

הלוגריתם של תוצר של שני גורמים שווה לסכום הלוגריתמים של גורמים אלה.

• תכונה 2

הלוגריתם של המנה בין שני מספרים שווה להפרש הלוגריתמים של אותם מספרים.

• תכונה 3

הלוגריתם של כוח שווה להכפלת המעריך של אותו כוח בלוגריתם של בסיס הכוח, שם אנו שומרים על בסיס הלוגריתם.

• תכונה 4

הלוגריתם של שורש שווה להופכי אינדקס השורש כפול הלוגריתם, שם אנו שומרים גם על הבסיס.

• תכונה 5

הלוגריתם של מספר, בבסיס המועלה לכוח, שווה לריבוי ההופכי של המעריך של אותו בסיס.

יודע יותר: יישומים שלאוגריתמים: ראה דוגמאות

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (Fuvest - SP) אם x⁵ = 1000 ו- b³ = 100, כך שהלוגריתם של x בבסיס b הוא:

א) 0.5

ב) 0.9

ג) 1.2

ד) 1.5

ה) 2.0

פִּתָרוֹן

מכיוון שניתן לכתוב את המספרים 1000 ו- 100 בבסיס 10, יש לנו:

החלפת הלוגריתם של x בבסיס b והחלת ההגדרה, יש לנו:

שאלה 2 - (Enem) הפוטנציאל המימני (pH) של תמיסה מוגדר כמדד המציין את חומציותו, ניטרליותו או בסיסיותו. זה נמצא כדלקמן:

להיות H⁺ ריכוז יוני המימן בתמיסה זו. ה- pH של תמיסה, כאשר H⁺ = 1,0 ·10^-9, é:

פִּתָרוֹן:

החלפת ערך H⁺ בנוסחת ה- pH יש לנו:

מאת L.do רובסון לואיז
מורה למתמטיקה