פעולות עם סטים: מה הם, דוגמאות

אל ה פעולות עם סטים הם איחוד, צומת והבדל. התוצאה של כל אחת מהפעולות הללו היא סט חדש. כדי לציין את האיחוד בין קבוצות, אנו משתמשים בסמל ∪; עבור הצומת, הסמל ∩; ובשביל ההבדל, הסמל של חִסוּר\(-\). במקרה של הבדל, חיוני להקפיד על סדר ביצוע הפעולה. במילים אחרות, אם A ו-B הן קבוצות, אז ההבדל בין A ל-B שונה מההבדל בין B ל-A.

קרא גם: דיאגרמת Venn - ייצוג גיאומטרי של קבוצות ופעולות ביניהן

סיכום פעולות עם סטים

• פעולות עם סטים הן: איחוד, צומת והפרש.

• האיחוד (או המפגש) של קבוצות A ו-B הוא קבוצה A ∪ B, שנוצרה על ידי האלמנטים השייכים ל-A או השייכים ל-B.

\(A∪B=\{x; x∈A\ או\ x∈B\}\)

• החיתוך של קבוצות A ו-B הוא קבוצת A ∩ B, שנוצרת מהאלמנטים השייכים ל-A ושייכים ל-B.

\(A∩B=\{x; x∈A\ ו\ x∈B\}\)

• ההבדל בין קבוצות A ו-B הוא קבוצה A – B, שנוצרה מהאלמנטים השייכים ל-A ואינם שייכים ל-B.

\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)

• אם U (המכונה קבוצת היקום) היא קבוצה המכילה את כל הקבוצות בהקשר נתון, אז ההבדל U – A, עם A ⊂ U, נקרא המשלים של A. המשלים של A נוצר על ידי אלמנטים שאינם שייכים ל-A ומיוצג על ידי אw.

\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)

שיעור וידאו על פעולות עם סטים

מהן שלוש הפעולות עם סטים?

שלושת הפעולות עם סטים הם: איחוד, צומת והבדל.

• איחוד סטים

האיחוד (או המפגש) של קבוצות A ו-B הוא קבוצה A ∪ B (קרא "האיחוד B"). קבוצה זו מורכבת מכל האלמנטים השייכים לקבוצה A אוֹ שייכים לקבוצה B, כלומר, ה אלמנטים השייכים לפחות לאחת מהקבוצות.

נציג את האלמנטים של A ∪ B על ידי x, אנו כותבים

\(A∪B=\{x; x∈A\ או\ x∈B\}\)

בתמונה למטה, האזור הכתום הוא מַעֲרֶכֶת א ∪ב.

זה נראה קשה? בואו נסתכל על שתי דוגמאות!

דוגמה 1:

מהי קבוצת A ∪ B, אם A = {7, 8} ו-B = {12, 15}?

קבוצת A ∪ B נוצרת מהאלמנטים השייכים ל-A אוֹ שייך לב'. מכיוון שהרכיבים 7 ו-8 שייכים לקבוצה A, אז שניהם חייבים להיות שייכים לקבוצה A ∪ B. יתר על כן, מכיוון שהרכיבים 12 ו-15 שייכים לקבוצה B, אז שניהם חייבים להיות שייכים לקבוצה A ∪ B.

לָכֵן,

A ∪ B={7, 8, 12, 15}

שימו לב שכל אחד מהרכיבים של A∪B שייך לקבוצה A או לקבוצה B.

דוגמה 2:

שקול את הקבוצות A = {2, 5, 9} ו-B = {1, 9}. מהי הסט A ∪ B?

מכיוון שהרכיבים 2, 5 ו-9 שייכים לקבוצה A, אז כולם חייבים להיות שייכים לקבוצה A∪B. יתר על כן, מכיוון שהרכיבים 1 ו-9 שייכים לקבוצה B, אז כולם חייבים להיות שייכים לקבוצה A ∪ B.

שימו לב שהזכרנו את 9 פעמיים, מכיוון שאלמנט זה שייך לקבוצה A ולקבוצה B. אומרים ש"הקבוצה A ∪ B נוצרת מהאלמנטים השייכים ל-A אוֹ שייך ל-B" אינו מוציא אלמנטים השייכים בו-זמנית לקבוצות A ו-B.

אז, בדוגמה זו, יש לנו

A ∪ B={1, 2, 5, 9}

שימו לב שאנחנו כותבים אלמנט 9 פעם אחת בלבד.

• צומת של סטים

החיתוך של קבוצות A ו-B הוא קבוצת A ∩ B (קרא את "הצומת B"). קבוצה זו מורכבת מכל האלמנטים השייכים לקבוצה A זה שייך לקבוצה ב'. במילים אחרות, A ∩ B מורכב מהאלמנטים המשותפים של קבוצות A ו-B.

ציון האלמנטים של A ∩ B על ידי x, אנו כותבים

\(A∩B=\{x; x∈A\ ו\ x∈B\}\)

בתמונה למטה, האזור הכתום הוא מַעֲרֶכֶת א ∩ ב.

בואו נפתור שתי דוגמאות על הצטלבות קבוצות!

דוגמה 1:

שקול את A = {-1, 6, 13} ו-B = {0, 1, 6, 13}. מהי הסט A ∩ B?

קבוצת A ∩ B נוצרת על ידי כל האלמנטים השייכים לקבוצה A זה שייך לקבוצה ב'. שימו לב שהרכיבים 6 ו-13 שייכים בו זמנית לקבוצות A ו-B.

ככה,

A ∩ B={6, 13}

דוגמה 2:

מהו החיתוך בין הקבוצות A = {0,4} ו \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?

שימו לב שאין אלמנט משותף בין קבוצות A ו-B. לפיכך, הצומת הוא קבוצה ללא אלמנטים, כלומר קבוצה ריקה.

לָכֵן,

\(\)A ∩ B={ } = ∅

• הבדל בין סטים

ההבדל בין קבוצות A ל-B הוא קבוצה A - B (קרא "הבדל בין A ל-B"). סט זה מורכב מ כל האלמנטים ששייכים לקבוצה A ולא שייכים לקבוצה B.

אנו כותבים את האלמנטים של A - B על ידי x

\(A-B=\{x; x∈A\ ו\ x∉B\}\)

בתמונה למטה, האזור הכתום הוא setA – ב.

תשומת הלב: ההבדל בין קבוצות A ו-B אינו ההבדל בין קבוצות B ו-A, כי B – A נוצר על ידי כל האלמנטים ששייכים לקבוצה B ואינם שייכים לקבוצה A.

שקול את שתי הדוגמאות שלהלן לגבי ההבדל בין קבוצות.

דוגמה 1:

אם A = {-7, 2, 100} ו-B = {2, 50}, אז מהי הסט A – B? מה לגבי הסט B – A?

הסטא-ב מורכב מכל האלמנטים השייכים לקבוצה A זהלא שייך לקבוצה ב'. שימו לב ש-2 הוא האלמנט היחיד בקבוצה A ששייך גם לקבוצה B. לפיכך, 2 אינו שייך לקבוצה א' - ב'.

לָכֵן,

A – B = {-7, 100}

יתר על כן, קבוצה B – A נוצרת על ידי כל האלמנטים השייכים לקבוצה B זהלא שייך לקבוצה א'. לָכֵן,

B – A = {50}

דוגמה 2:

מה ההבדל בין קבוצת A = {–4, 0} לקבוצה B = {–3}?

שימו לב שאף אחד מהמרכיבים של A לא שייך ל-B. לפיכך, ההבדל A - B הוא קבוצה A עצמה.

\(A - B = \{-4.0\} = A\)

תַצְפִּית: קחו בחשבון ש-U (המכונה קבוצת היקום) היא קבוצה המכילה את כל שאר הקבוצות במצב נתון. ככה, ההבדל U–A, עם א⊂U, הוא קבוצה שנקראת משלימה ל-A ומוצג כ \(לִפנֵי הַסְפִירָה\).

\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)

בתמונה הבאה, המלבן הוא קבוצת היקום והאזור הכתום הוא קבוצת היקום \(לִפנֵי הַסְפִירָה\).

יודע יותר: שלב אחר שלב איך עושים חלוקה

פתרו תרגילים על פעולות סט

שאלה 1

קחו בחשבון את הקבוצות A = {–12, –5, 3} ו-B = {–10, 0, 3, 7} וסווגו כל משפט למטה כ-T (נכון) או כ-F (לא נכון).

אני. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}

II. A ∩ B = {3}

III. A – B = {–12, –5}

הסדר הנכון, מלמעלה למטה, הוא

א) V-V-V

ב) פ-ו-ו

ג) V-F-V

ד) פ-ו-ו

ה) פ-ו-ו

פתרון הבעיה

אני. שֶׁקֶר.

יסוד 0 חייב להיות שייך לאיחוד של A ו-B, שכן 0 ∈ B. לפיכך, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}

II. נָכוֹן.

III. נָכוֹן.

חלופה ב'.

שאלה 2

שקול את A = {4, 5}, B = {6,7} ו-C = {7,8}. לאחר מכן, הקבוצה A ∪ B ∩ C היא

א) {7}.

ב) {8}.

ג) {7, 8}.

ד) {6,7,8}.

ה) {4, 5, 6, 7, 8}.

פתרון הבעיה

שים לב ש-A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. לכן, קבוצת A ∪ B ∩ C היא המפגש בין A ∪ B = {4, 5, 6, 7} ו-C = {7,8}. בקרוב,

A ∪ B ∩ C = {7}

חלופה א'.

מקורות

LIMA, אילון ל.. קורס ניתוח. 7 מהדורה. ריו דה ז'נרו: IMPA, 1992. v.1.

LIMA, אילון ל. et al. מתמטיקה בתיכון. 11. ed. אוסף מורים למתמטיקה. ריו דה ז'נרו: SBM, 2016. v.1.