א הִשׁתָרְשׁוּת זוהי פעולה מתמטית, בדיוק כמו חיבור, חיסור, כפל, חילוק ופוטנציה. באותו אופן שחיסור הוא הפעולה ההפוכה של חיבור וחילוק הוא היפוך של הכפל, הקרינה היא הפעולה ההפוכה של התעצמות. לפיכך, עבור x ו-y חיוביים אמיתיים ומספר n (גדול מ-2 או שווה ל-2), אם x מורם ל-n שווה ל-y, נוכל לומר שהשורש ה-n של y שווה ל-x. בסימון מתמטי: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
קרא גם:פוטנציציה והקרנה של שברים - איך עושים את זה?
סיכום על השתרשות
שורש הוא פעולה מתמטית.
הקרנה ופוטנציציה הן פעולות הפוכות, כלומר עבור x ו-y חיוביים, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
חישוב השורש ה-n של מספר y פירושו למצוא את המספר x כך ש-x מועלה ל-n שווה ל-y.
קריאת שורש תלויה באינדקס n. אם n = 2, נקרא לזה שורש ריבועי, ואם n = 3, נקרא לזה שורש קובייה.
בפעולות עם רדיקלים, אנו משתמשים במונחים בעלי אותו אינדקס.
לקרינה יש מאפיינים חשובים המקלים על חישובה.
שיעור וידאו על השתרשות
ייצוג של שורש
כדי לייצג השתרשות, עלינו לשקול את שלושת המרכיבים המעורבים: רדיקנד, אינדקס ושורש. הסמל \(√\) נקרא רדיקל.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
בדוגמה זו, y הוא הרדיקנד, n הוא האינדקס ו-x הוא השורש
. כתוב "השורש ה-n של y הוא x". בעוד ש-x ו-y מייצגים מספרים ממשיים חיוביים, n מייצג מספר שלם השווה ל-2 או גדול מ-2. חשוב לציין כי עבור n = 2, ניתן להשמיט את האינדקס. אז, למשל, \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).אנו יכולים לייצג קרינה באמצעות הרדיקנד עם אקספוננט שבריר. פורמלית, אנו אומרים שהשורש ה-n של \(y^m\) ניתן לכתוב כמו y מועלה למעריך השבר \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
ראה את הדוגמאות:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
הבדלים בין קרינה לפוטנציציה
פוטנציה וקרינה הן פעולות מתמטיות הפוכות. זה אומר שאם \(x^n=y\), לאחר מכן \(\sqrt[n]{y}=x\). זה נראה קשה? בואו נסתכל על כמה דוגמאות.
אם \(3^2=9\), לאחר מכן \(\sqrt[2]{9}=3\).
אם \(2^3=8\), לאחר מכן \(\sqrt[3]{8}=2\).
אם \(5^4=625\), לאחר מכן \(\sqrt[4]{625}=5\).
איך לקרוא שורש?
כדי לקרוא שורש, עלינו לשקול את המדד נ. אם n = 2, אנחנו קוראים לזה שורש ריבועי. אם n = 3, נקרא לזה שורש הקובייה. עבור ערכים של נ גדול יותר, אנו משתמשים במינוח עבור מספרים סידוריים: שורש רביעי (אם n = 4), שורש חמישי (אם n = 5) וכן הלאה. ראה כמה דוגמאות:
\(\sqrt[2]{9}\) - שורש ריבועי של 9.
\(\sqrt[3]{8}\) - שורש קובייה של 8.
\(\sqrt[4]{625}\) - שורש רביעי של 625.
איך מחשבים את השורש של מספר?
נראה להלן כיצד לחשב את השורש של מספר ממשי חיובי. כדי לחשב את השורש של מספר, עלינו לשקול את הפעולה ההפוכה הקשורה. כלומר, אם נחפש את השורש ה-n של מספר y, עלינו לחפש מספר x כזה \(x^n=y\).
בהתאם לערך של y (כלומר, הרדיקנד), תהליך זה יכול להיות פשוט או מייגע. בואו נסתכל על כמה דוגמאות כיצד לחשב את השורש של מספר.
דוגמה 1:
מהו השורש הריבועי של 144?
פתרון הבעיה:
בואו נתקשר למספר שאנחנו מחפשים x, כלומר, \(\sqrt{144}=x\). שימו לב שזה אומר לחפש מספר x כזה \(x^2=144\). בואו נבדוק כמה אפשרויות עם מספרים טבעיים:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
לָכֵן, \(\sqrt{144}=12\).
דוגמה 2:
מהו שורש הקובייה של 100?
פתרון הבעיה:
בואו נתקשר למספר שאנחנו מחפשים x, כלומר, \(\sqrt[3]{100}=x\). זה אומר ש \(x^3=100\). בואו נבדוק כמה אפשרויות:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
שימו לב שאנחנו מחפשים מספר שהוא בין 4 ל-5, כמו \(4^3=64\) זה \(5^3=125\). אז בואו נבדוק כמה אפשרויות עם מספרים בין 4 ל-5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
כפי ש \(4,6^3 \) הוא מספר קרוב ל-100 וקטן מ-100, אנו יכולים לומר ש-4.6 הוא קירוב לשורש הקובייה של 100. לָכֵן, \(\sqrt[3]{100}≈4.6\).
חָשׁוּב:כאשר השורש הוא מספר רציונלי, אנו אומרים שהשורש מדויק; אחרת, השורש אינו מדויק. בדוגמה שלמעלה, אנו קובעים טווח בין שורשים מדויקים שבהם נמצא השורש המבוקש:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
אסטרטגיה זו שימושית מאוד לחישוב קירובים של שורש.
פעולות עם רדיקלים
בפעולות עם רדיקלים, אנו משתמשים במונחים בעלי אותו אינדקס. בהתחשב בכך, קרא בעיון את המידע הבא.
← חיבור וחיסור בין רדיקלים
כדי לפתור חיבור או חיסור בין רדיקלים, עלינו לחשב את השורש של כל רדיקל בנפרד.
דוגמאות:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
חָשׁוּב: לא ניתן להפעיל רדיקלים בפעולות חיבור וחיסור. שימו לב, למשל, הפעולה \(\sqrt4+\sqrt9\) מביא למספר שונה של \(\sqrt{13}\), אפילו אם \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3.6\)
→ כפל וחילוק בין רדיקלים
כדי לפתור כפל או חלוקה בין רדיקלים, נוכל לחשב את השורש של כל רדיקל בנפרד, אך נוכל להשתמש גם בתכונות הקרינה, אותן נראה בהמשך.
דוגמאות:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
מהן תכונות הקרינה?
← תכונה 1 של קרינה
אם y הוא מספר חיובי, אז השורש ה-n של \(y^n\) שווה ל-y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
ראה את הדוגמה:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
מאפיין זה נמצא בשימוש נרחב כדי לפשט ביטויים עם רדיקלים.
← תכונה 2 של קרינה
השורש ה-n של המוצר \(y⋅z\) שווה למכפלת השורשים ה-n של y ו-z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
ראה את הדוגמה:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
חָשׁוּב: כאשר אנו מחשבים את השורש של מספר גדול, זה מאוד שימושי גורם (לפרק) את הרדיקנד למספרים ראשוניים ולהחיל את המאפיינים 1 ו-2. ראה את הדוגמה הבאה, בה נרצה לחשב \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
ככה,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
← נכס 3של השתרשות
השורש ה-n של המנה \(\frac{y}z\), עם \(z≠0\), שווה למנה של השורשים ה-n של y ו-z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
ראה את הדוגמה:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
← תכונה 4 של קרינה
השורש ה-n של y שהועלה למעריך m שווה לשורש ה-n של \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
ראה את הדוגמה:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
ראה גם: מהן תכונות הפוטנציציה?
פתרו תרגילים בנושא קרינה
שאלה 1
(FGV) מפשט \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), אתה מקבל:
א) 0
ב) - 23
ג) - 43
ד) - 63
ד) - 83
פתרון הבעיה:
חלופה C.
שימו לב ששימוש במאפייני הקרינה, יש לנו
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
לפיכך, נוכל לשכתב את הביטוי של ההצהרה כ
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
לשים את המונח \(\sqrt3\) ראיות, אנחנו מסיקים את זה
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
שאלה 2
(צפת) באיזה מספר נכפיל את המספר 0.75 כך שהשורש הריבועי של המכפלה המתקבל יהיה שווה ל-45?
א) 2700
ב) 2800
ג) 2900
ד) 3000
פתרון הבעיה:
חלופה א'.
המספר המבוקש הוא x. לפיכך, לפי ההצהרה,
\(\sqrt{0.75⋅x}=45\)
לָכֵן,
\(0.75⋅x=45^2\)
\(0.75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0.75}\)
\(x = 2700\)
