מספרים רציונליים: מה הם, מאפיינים, דוגמאות

זה ידוע בשם מספר ראציונאלי כל מספר זה ניתן לייצג כשבר בלתי הפיך. לאורך ההיסטוריה האנושית פותח בהדרגה רעיון המספר בהתאם לצרכים האנושיים. ייצוג המספרים בשברים, למשל, פתר בעיות שנפתרו רק באמצעות מספרים שלמים.

ניתן לייצג מספר רציונלי משבר, כך שישנן שיטות לשנות מספרים שלמים, מספרים עשרוניים עשרוניות מדויקות ותקופתיות בשברים.

קרא גם: פעולות עם שברים - איך לפתור?

מהם מספרים רציונליים?

המספרים הרציונליים הם הרחבה של מערך המספרים השלמיםואז נוסף בנוסף למספרים השלמים כל השברים. או מַעֲרֶכֶת של המספרים הרציונליים מיוצג על ידי:

מה שאומר ייצוג זה הוא שמספר הוא רציונלי אם ניתן לייצג אותו כשבר ה על אודות ב, כך ש ה הוא מספר שלם ו ב הוא מספר שלם שאינו אפס. אבל אם נגדיר מספרים רציונליים בצורה פחות קפדנית, נוכל לומר את הדברים הבאים:

מספרים רציונליים הם כולם מספרים שניתן לייצג כשבר.

עמוד בהגדרה זו:

• אתה מספרים שלמיםs, למשל: -10, 7, 0;

• אתה מספרים עשרוניים מדויקים, למשל: 1.25; 0,1; 3,1415;

• בְּ- מעשר תקופתי פשוט, למשל: 1.424242…;

• בְּ- מעשר תקופתי מורכבלדוגמא: 1.0288888 ...

לא הם מספרים רציונליים:

• בְּ מעשרות לא תקופתיות, למשל: 4,1239489201…;

• בְּ שורשיםלא מדויק, לדוגמה: ;

• ה צְפַרְדֵעַאניz ריבוע של מספרים שליליים, לדוגמה: .

תַצְפִּית: קיומם של מספרים לא רציונליים גורם לקבוצות אחרות להופיע, כגון מספרים לא רציונליים ו- מספרים מסובכים.

ייצוג מספרים רציונליים

הבנה כי השבר הוא א חֲלוּקָה של שני מספרים שלמים, שיהיו מספר רציונלי, אתה יכול לייצג את המספר הזה כשבר. לכן, כל אחד מהמקרים שהוזכרו לעיל כמספרים רציונליים (מספרים שלמים, עשרונים מדויקים ועשרוניים תקופתיים) ניתן לייצג כשבר.

• מספרים שלמים

ישנן אינסוף אפשרויות לייצוג מספר שלם כשבר, שכן ניתן לייצג שבר בצורה בלתי ניתנת להפחתה או לא.

דוגמאות:

• עשרוניות מדויקות

כדי להפוך מספר עשרוני מדויק ל- a שבריר, אנו סופרים את מספר המספרים בחלק העשרוני שלו, כלומר אחרי הנקודה העשרונית. אם יש מספר אחרי הפסיק, נכתוב את החלק השלם בתוספת החלק העשרוני ללא הפסיק מעל 10. אם ישנם שני מספרים בחלק העשרוני מעל 100, בפועל, כמות המספרים בחלק העשרוני תהיה כמות האפסים שיש לנו במכנה. ראה את הדוגמה:

• מעשר תקופתי

לא תמיד משימה קלה למצוא את הייצוג השברירי של מעשר מייצר שבר. כדי להקל על עבודה זו, נצפה כי במשוואה בה השתמשנו למציאת השבר המייצר, ישנן קביעות המאפשרות פיתוח שיטה מעשית.

ראשית, עלינו להבין כי ישנם שני סוגים של מעשרות תקופתיות, פשוטים ומורכבים. אחד מעשר פשוט אם בחלק העשרוני יש רק את החלק שחוזר על עצמו, כלומר את התקופה. אחד מעשר הוא מורכב אם בחלק העשרוני יש חלק לא תקופתי.

דוגמא:

9,323232... → עשרוני תקופתי פשוט
חלק שלם שווה 9.
התקופה שווה 32.

8,7151515... → מעשר תקופתי מורכב
חלק שלם שווה ל- 8.
החלק העשרוני הלא תקופתי שווה ל- 7.
התקופה שווה ל- 15.

ראה גם: שברים מקבילים - שברים המייצגים את אותה כמות

→ מקרה ראשון: יצירת שבר של עשרוני תקופתי פשוט

במקרה הראשון, ל להפוך עשרוני תקופתי פשוט לשבר בשיטה המעשית, פשוט כתוב את כל החלק בתוספת התקופה ללא הפסיק במונה. במכנה, עבור כל אלמנט בחלק התקופתי, אנו מוסיפים 9.

דוגמא:

לשבר הייצור של 9.323232..., כפי שראינו, יש תקופה השווה ל -32, כלומר שני מספרים בתקופה שלה, ולכן המכנה הוא 99. החלק השלם בתוספת החלק המחזורי ללא פסיק הוא 932, שהוא המונה. אז החלק היוצר של מעשר זה הוא:

→ מקרה שני: יצירת שבר של עשרונית תקופתית מורכבת

המעשר המרוכב התקופתי קצת יותר מייגע. בואו נמצא את החלק היוצר של המעשר עליו עבדנו בדוגמה.

8,7151515... → עשרוני תקופתי מורכב.

חלק שלם שווה ל- 8.

החלק העשרוני הלא תקופתי שווה ל- 7.

החלק העשרוני מהתקופה שווה ל- 15.

המונה יהיה ה- חִסוּר 8715 - 87, כלומר ההבדל בין המספר שעובר מהחלק השלם לחלק התקופתי עם החלק הלא חוזר של המעשר.

המונה יהיה שווה ל- 8715 - 87 = 8628.

כדי למצוא את המכנה, בואו ננתח את החלק העשרוני. ראשית בואו נסתכל על החלק העשרוני הלא תקופתי. במקרה זה, החלק העשרוני של המספר הוא 715. עבור כל מספר שנמצא בחלק התקופתי, בואו נוסיף a 9 בתחילת המכנה. מכיוון שלחלק התקופתי במקרה זה יש שני מספרים (15), יהיו שתי מכנות. לכל מספר בחלק העשרוני שאינו תקופתי, נוסיף a 0 בסוף המכנה, שיהיה 990.

בקרוב, מייצר שבר של המעשר יהיה:

מספרים רציונליים הם כל אותם מספרים שניתן לייצג על ידי שבר.

מאפיינים של מספרים רציונליים

• בין שני מספרים רציונליים, תמיד יהיה מספר רציונלי אחר

מעניין לחשוב על מאפיין זה, עליו דנו רבות על ידי עמים קדומים, והפך לפרדוקס. בבחירת שני מספרים רציונליים, תמיד יהיה מספר ביניהם.

דוגמא:

בין 1 ל -2, יש 1.5; בין 1 ל -1.5, יש 1.25; בין 1 ל- 1.25, יש את 1.125 וכן הלאה. ככל שאני בוחר שני מספרים רציונליים עם מעט מאוד הבדל ביניהם, תמיד אפשר למצוא ביניהם מספר רציונלי. נכס זה עושה בלתי אפשרי להגדיר יורש וקודם במספרים רציונליים.

• ארבע הפעולות במכלול המספרים הרציונליים נסגרות

אנו אומרים כי הסט סגור עבור סְכוּם, למשל, אם סכום שני המספרים הרציונליים מייצר תמיד מספר רציונלי אחר כתשובה. זה מה שקורה עם ארבע הפעולות ב- Q.

ה חיבור, חיסור, חלוקה וכפל בין שני מספרים רציונליים תמיד יביא למספר רציונלי. למעשה, אפילו ה עוצמה של מספר רציונלי תמיד ייצור מספר רציונלי בתגובה.

מערך המספרים הרציונליים אינו סגור ל קרינה. לכן, Mמכיוון ש- 2 הוא מספר רציונלי, השורש הריבועי של 2 הוא a מספר לא רציונלי.

ראה גם: שברים מקבילים - שברים המייצגים את אותה כמות

תת קבוצות של מספרים רציונליים

אנחנו יודעים איך קבוצות משנה או התייחסות הכללה בין הקבוצות שנוצרו על ידי אלמנטים השייכים למכלול המספרים הרציונליים. ישנם מספר קבוצות משנה אפשריות, כקבוצת המספרים השלמים או טִבעִי, כי כל מספר שלם הוא רציונלי, כמו שכל מספר טבעי הוא רציונלי.

קבוצות המספרים השלמים והמספרים הטבעיים כלולים בקבוצת המספרים הרציונליים.

דוגמא:

קבוצה של מספרים שלמים: Z = {… -3, -2, -1, 0.1, 2, 3, ...}.

כשזה קורה, אנחנו אומרים את זה Z ⸦ Q (כתוב: Z נכלל ב- Q או שמכלול המספרים השלמים נכלל במערך המספרים הרציונליים.)

ישנם כמה סמלים החיוניים ליצירת קבוצות משנה של Q, והם: +, - ו- *, שמשמעותם, בהתאמה, חיובית, שלילית ולא אפסית.

דוגמאות:

Q * → (נכתב: קבוצת מספרים רציונליים שאינם אפסים.)

ש₊ → (קורא: קבוצה של מספרים רציונליים חיוביים.)

ש_- → (קורא: קבוצה של מספרים רציונליים שליליים.)

ש^*₊ → (קורא: סט של מספרים רציונליים חיוביים ולא אפסיים.)

ש^*_- → (נכתב: קבוצת מספרים רציונליים שליליים ולא אפסיים.)

שים לב שכל הקבוצות הללו הן קבוצות משנה של Q, שכן כל האלמנטים שייכים לקבוצת המספרים הרציונליים. בנוסף לערכות המוצגות, נוכל לעבוד עם מספר קבוצות משנה ב- Q, כגון הסט שנוצר על ידי מספרים אי זוגיים, או בני דודים, או זוגות, לבסוף, יש כמה וכמה אפשרויות של תת קבוצות.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm