סכום ותוצר: נוסחה, איך לחשב, תרגילים.

סכום ומוצר זוהי שיטה המשמשת למציאת הפתרונות של א משוואה. אנו משתמשים בסכום ובמכפלה כשיטה לחישוב השורשים של א משוואת מדרגה 2, מהסוג ax² + bx + c = 0.

זוהי שיטה מעניינת כאשר הפתרונות של המשוואה הם מספרים שלמים. במקרים בהם הפתרונות אינם מספרים שלמים, זה יכול להיות די מסובך להשתמש בסכום ובמכפלה, עם שיטות אחרות קלות יותר למצוא את הפתרונות של המשוואה.

קראו גם: Bhaskara - הנוסחה הידועה ביותר לפתרון משוואות ריבועיות

נושאי מאמר זה

• 1 - סיכום על סכום ומוצר
• 2 - מה הסכום והתוצר?
• 3 - נוסחת סכום ומוצר
• 4 - כיצד לחשב את השורשים באמצעות סכום ומכפלה?
• 5 - תרגילים פתורים על סכום ומוצר

סיכום על סכום ומוצר

• הסכום והמכפלה היא אחת השיטות המשמשות למציאת פתרונות של משוואה ריבועית שלמה.
• לפי הסכום והמכפלה, בהינתן המשוואה של המעלה השנייה ax² + bx + c = 0, יש לנו:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

• איקס₁ זה איקס₂ הם הפתרונות של המשוואה הריבועית.
• a, b ו-c הם המקדמים של משוואת מדרגה 2.

מה זה סכום ומוצר?

הסכום והתוצר הוא אחת השיטות שבהן נוכל להשתמש כדי למצוא את הפתרונות של משוואה. בשימוש במשוואות מדרגה 2, הסכום והמכפלה יכולים להיות שיטה מעשית יותר למצוא את הפתרונות של משוואה, מכיוון שהיא מורכבת מחיפוש המספרים העונים על נוסחת הסכום והמוצר של נתון משוואה.

סכום ונוסחת המוצר

במשוואה ריבועית, מהסוג ax² + bx + c = 0, עם פתרונות שווים ל-x₁ ו-x₂, לפי סכום ומוצר, יש לנו:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)

\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

כיצד לחשב שורשים באמצעות סכום ומכפלה?

כדי למצוא את הפתרונות, נחפש תחילה את המספרים השלמים שהמכפלה שלהם שווה \(\frac{c}{a}\).

אנו יודעים שהפתרונות של המשוואה יכולים להיות חיוביים או שליליים:

• מוצר חיובי וסכום חיובי: שני השורשים חיוביים.
• מוצר חיובי וסכום שלילי: שני השורשים שליליים.
• מוצר שלילי וסכום חיובי: שורש אחד חיובי והשני שלילי, וזה עם המודול הגדול ביותר הוא חיובי.
• מוצר שלילי וסכום שלילי: שורש אחד חיובי והשני שלילי, וזה עם המודול הגדול ביותר הוא שלילי.

מאוחר יותר, לאחר פירוט כל המוצרים העונים על המשוואה, אנו מנתחים איזה מהם עומד במשוואה. משוואת הסכום, כלומר, מהם שני המספרים העונים על משוואת המכפלה והסכום בּוֹ זְמַנִית.

דוגמה 1:

מצא את הפתרונות של המשוואה:

\(x²-5x+6=0\)

בהתחלה, נחליף את הסכום ואת נוסחת המוצר. יש לנו ש-a = 1, b = -5 ו-c = 6:

\(x_1+x_2=5\)

\(x_1\cdot x_2=6\)

מכיוון שהסכום והתוצר חיוביים, השורשים חיוביים. בניתוח המוצר, אנו יודעים כי:

\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)

\(2\cdot3\ =\ 6\)

כעת, נבדוק לאילו מהתוצאות הללו יש סכום השווה ל-5, שבמקרה זה הוא:

\(2+3=5\)

אז, הפתרונות של המשוואה הזו הם \(x_1=2\ ו\ x_2=3\).

דוגמה 2:

מצא את הפתרונות של המשוואה:

\(x^2+2x-24=0\ \)

ראשית, נחליף לסכום ולנוסחת המוצר. יש לנו a = 1, b = 2 ו-c = -24.

\(x_1+x_2=-\ 2\)

\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)

מכיוון שהסכום והמכפלה הם שליליים, השורשים הם מסימנים מנוגדים, וזה עם המודולוס הגדול ביותר הוא שלילי. בניתוח המוצר, אנו יודעים כי:

\(1\cdot(-24)=-24\)

\(2\cdot\left(-12\right)=-24\)

\(3\cdot\left(-8\right)=-24\)

\(4\cdot\left(-6\right)=-24\)

כעת, בואו נבדוק לאיזה מהתוצאות הללו יש סכום שווה -2, שבמקרה זה הוא:

\(4+\left(-6\right)=-2\)

אז, הפתרונות של המשוואה הזו הם \(x_1=4\ ו\x_2=-6\) .

קראו גם: כיצד לפתור משוואה ריבועית לא שלמה

תרגילים פתורים על סכום ומוצר

שאלה 1

לִהיוֹת y זה ז השורשים של משוואה 4איקס²-3איקס-1=0, הערך של 4(y+4)(z+4) é:

א) 75

ב) 64

ג) 32

ד) 18

ה) 16

פתרון הבעיה:

חלופה א'

חישוב לפי סכום ומוצר:

\(y+z=\frac{3}{4}\)

\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)

אז, אנחנו צריכים:

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4(yz+4y+4z+16)\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\left (y+z\right)+16\right )\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ ימין)\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+3+16\right)\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+19\right)\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\left(\frac{76-1}{4}\right)\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=4\cdot\frac{75}{4}\)

\(4\left (y+4\right)\left (z+4\right)=75\)

שאלה 2

בהתחשב במשוואה 2איקס² + 8x + 6 = 0, תן S להיות סכום השורשים של המשוואה הזו ו-P יהיה המכפלה של שורשי המשוואה, ואז ערך הפעולה (S - P)² é:

א) 36

ב) 49

ג) 64

ד) 81

ה) 100

פתרון הבעיה:

חלופה ב'

חישוב לפי סכום ומוצר:

\(S=x_1+x_2=-4\)

\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)

אז, אנחנו צריכים:

\(\left(-4-3\right)^2=\left(-7\right)^2=49\)

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

האם תרצה להתייחס לטקסט זה בעבודה בית ספרית או אקדמית? תראה:

OLIVEIRA, ראול רודריגס דה. "סכום ומוצר"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm. ניגש ב-22 ביולי 2023.

לחץ כדי לראות את הדגמת הנוסחה של בהסקרה, המבוססת על שיטת השלמת הריבוע.

להבין מהי משוואה מדרגה 2. למד כיצד לחשב את השורשים שלך ואת הנוסחה של Bhaskara. למד גם כיצד לפתור מערכת של משוואות מדרגה 2.

למד מה זה וכיצד להשתמש בנוסחה של Bhaskara כדי לפתור משוואות ריבועיות!

למד מהן מערכות לינאריות, למד על השיטות העיקריות לפתרון מערכות ליניאריות ולמד כיצד לסווג מערכת ליניארית.

לִזחוֹל

הסלנג המותאם מאנגלית משמש לייעד מישהו שנתפס כדביק, מביש, מיושן ולא אופנה.

נוירודיסיטי

מונח שנטבע על ידי ג'ודי סינגר, הוא משמש לתיאור המגוון הרחב של הדרכים שבהן המוח האנושי מתנהג.

PL של חדשות מזויפות

המכונה גם PL2660, היא הצעת חוק הקובעת מנגנונים להסדרת רשתות חברתיות בברזיל.