יישום חשוב של מתמטיקה בפיזיקה ניתן על ידי קצב הווריאציה של פונקציית התואר השני, כלומר מקושר לתנועה מגוונת באופן אחיד, כלומר במצבים שבהם המהירות משתנה בהתאם תְאוּצָה. פונקציית המעלה השנייה ניתנת על ידי הביטוי ax² + bx + c = 0 וקצב השינוי שלה במרווח (x, x + h), עם x ו- x + h Є R ו- h ≠ 0, ניתן על ידי הביטוי:
במקרה של פונקציית התואר השני, יש לנו:
f (x + h) = a (x + h) ² + b (x + h) + c = a (x² + 2xh + h²) + bx + bh + c = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c
לאחר מכן:
f (x + h) - f (x) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c - (ax² + bx + c) = ax² + 2axh + ah² + bx + bh + c - ax² - bx - c = 2axh + ah² + bh
אז יש לנו:
על פי הביטוי הנ"ל, כאשר h מתקרב לאפס, קצב השינוי יתקרב 2ax + b. בדרך זו אנו יכולים לבטא מצב זה באמצעות גרף, המדגים בבירור כי השיעור וריאציה של הפונקציה הריבועית, כאשר h מתקרב לאפס, הוא שיפוע הקו המשיק לפרבולה. y = ax² + bx + c בנקודה (איקס0y0).
שיפוע קו המשיק t בנקודה (x0כן0) ניתן ע"י 2x0 + ב.
דוגמא
תנועה מגוונת באופן אחיד ניתנת על ידי הביטוי f (t) = at² + bt + c, הנותן מיקום של אובייקט בזמן מסוים t. בביטוי, a הוא התאוצה, t הוא הזמן, b הוא המהירות ההתחלתית, ו- c הוא המיקום ההתחלתי של האובייקט.
עבור f (t) = at² + bt + c:
f (t + h) = a (t + h) ² + b (t + h) + c = a (t² + 2 + h²) + bt + bh + c = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c
f (t + h) - f (t) = at² + 2ath + ah² + bt + bh + c - at² - bt - c = 2ath + ah² + bh
כאשר h מתקרב לאפס, ערך המהירות הממוצע יתקרב 2at + b. לכן הביטוי הקובע את מהירות האובייקט הזה מביטוי המרחב כפונקציה של זמן הוא:
v (t) = 2at + b
מאת מארק נח
בוגר מתמטיקה
צוות בית הספר בברזיל
תפקידים - מתמטיקה - בית ספר ברזיל
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/taxa-variacao-funcao-2-grau.htm