התקדמות: מה הם, סוגים, נוסחאות, דוגמאות

אנחנו יודעים איך התקדמות מקרים מסוימים של רצפי מספרים. ישנם שני מקרים של התקדמות:

• התקדמות חשבון

• התקדמות גיאומטרית

כדי להיות התקדמות, עלינו לנתח את מאפייני הרצף אם יש מה שאנו מכנים סיבה. כאשר ההתקדמות היא חֶשְׁבּוֹן, הסיבה אינה אלא קבוע שאנו מוסיפים למונח כדי למצוא את יורשו ברצף; עכשיו, כשעובדים עם התקדמות גֵאוֹמֶטרִילתבונה פונקציה דומה, רק במקרה זה הסיבה היא המונח הקבוע לפיו אנו מכפילים מונח ברצף כדי למצוא את יורשו.

עקב התנהגות צפויה של התקדמות, יש נוסחאות ספציפיות למציאת מונח כלשהו ברצפים אלה, ואפשר גם לפתח א נוסחה לכל אחד מהם (כלומר, אחת להתקדמות החשבון ואחת להתקדמות הגיאומטרית) על מנת לחשב את הסכום מלא מונחים ראשונים של התקדמות זו.

קרא גם: פונקציות - לשם מה הם נועדו?

כמות השעועית לכל קציר מתנהגת כמו התקדמות גיאומטרית

רצף מספרים

כדי להבין מהן התקדמות, ראשית עלינו להבין מה הם רצפי מספרים. כפי שהשם מרמז, אנו יודעים את רצף המספרים א קבוצה של מספרים המכבדים סדר, מוגדרים היטב או לא. לא כמו ה סטים מספרים שבהם הסדר אינו חשוב, ברצף מספרי, סדר הוא חיוני, למשל:

הרצף (1, 2, 3, 4, 5) שונה מ (5, 4, 3, 2, 1), השונה מהרצף (1, 5, 4, 3, 2). גם אם האלמנטים זהים, שכן הסדר שונה, כך שיש לנו רצפים שונים.

דוגמאות:

אנו יכולים לכתוב רצפים שקלים לראות את תצורותיהם:

א) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → רצף של מספרים זוגיים שווים או שווים ל- 12.

ב) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → רצף רגרסיבי של מספרים אי זוגיים בין 17 ל -5.

ג) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) → המכונה רצף פיבונאצ'י.

ד) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → למרות שלא ניתן לתאר את הרצף הזה כמו האחרים, קל לחזות מה יהיו המונחים הבאים שלו.

במקרים אחרים, לרצפים יכולה להיות אקראיות מוחלטת בערכים שלהם, בכל מקרה, להיות רצף, מה שחשוב זה שיהיה לך ערך מסודר.

עד 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

ב) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

ככל שלא ניתן לחזות מיהם המונחים הבאים באות ב ', אנו עדיין עובדים עם סרט המשך.

בכללי, מחרוזות מיוצגות תמיד בסוגריים (), באופן הבא:

(ה₁, א₂,ה₃, א₄,ה₅, א₆, א₇, א₈ ...) → רצף אינסופי

(ה₁, א₂,ה₃, א₄,ה₅, א₆, א₇, א₈... א_לא) → רצף סופי

בשניהם יש לנו את הייצוג הבא:

ה₁ → קדנציה ראשונה

ה₂ → קדנציה שנייה

ה₃ → קדנציה שלישית

.

.

.

ה_לא → קדנציה ט '

תַצְפִּית: יש חשיבות רבה שכאשר מייצגים רצף הנתונים כלולים בסוגריים. סימון רצף מבולבל לעיתים קרובות עם סימון קבוצה. סט מיוצג בסוגרים, ובסט אין הסדר חשוב, מה שעושה את ההבדל במקרה זה.

(1, 2, 3, 4, 5) → רצף

{1, 2, 3, 4, 5} → הגדר

ישנם מקרים מסוימים של רצף המכונים התקדמות.

ראה גם: מהו עיקרון היסוד של הספירה?

מהן התקדמות?

רצף מוגדר כהתקדמות כאשר יש לו a קביעות מקדנציה אחת לאחרת, המכונה סיבה. ישנם שני מקרים של התקדמות, התקדמות חשבון והתקדמות גיאומטרית. כדי לדעת להבדיל כל אחד מהם, עלינו להבין מה הסיבה להתקדמות וכיצד סיבה זו מתקשרת עם מונחי הרצף.

כאשר, ממונח אחד למשנהו ברצף, יש לי סכום קבוע, רצף זה מוגדר כהתקדמות, ובמקרה זה הוא א התקדמות חשבון. ערך זה שאנו כל הזמן מוסיפים מכונה היחס. המקרה השני, כלומר כאשר הרצף הוא a התקדמות גיאומטרית, ממונח אחד למשנהו יש א כפל בערך קבוע. באופן אנלוגי, ערך זה הוא היחס בין ההתקדמות הגיאומטרית.

דוגמאות:

א) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → שימו לב שאנחנו תמיד מוסיפים 3 ממונח אחד למשנהו, ולכן יש לנו התקדמות חשבון של יחס שווה ל -3.

ב) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → במקרה זה אנו תמיד מכפילים ב- 10 ממונח אחד למשנהו, ועוסקים בהתקדמות גיאומטרית של היחס 10.

ג) (0, 2, 8, 26 ...) → במקרה האחרון, יש רק רצף אחד. כדי למצוא את המונח הבא, נכפיל את המונח ב -3 ונוסיף 2. המקרה הזה, למרות שיש סדירות למצוא את המונחים הבאים, זה רק רצף, לא התקדמות חשבון או גאומטריה.

התקדמות חשבון

כשאנחנו עובדים עם רצפי מספרים, אותם רצפים שבהם אנו יכולים לחזות את המונחים הבאים שלהם הם די חוזרים. כדי שרצף זה יסווג כ- התקדמות חשבון, צריך להיות א סיבה א. מהקדנציה הראשונה, הקדנציה הבאה היא נבנה בסכום הקדנציה הקודמת עם הסיבה ר.

דוגמאות:

א) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

זהו רצף שניתן לסווג כהתקדמות חשבון, כי הסיבה ר = 3 והמונח הראשון הוא 4.

ב) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

רצף זה הוא התקדמות חשבון עם סיבה טובה. ר = -5, והמונח הראשון שלו הוא 7.

• תנאי הרשות הפלסטינית

במקרים רבים האינטרס שלנו הוא למצוא מונח ספציפי בהתקדמות, מבלי שנצטרך לכתוב את כל הרצף. בידיעת ערך המונח הראשון והיחס, ניתן למצוא את הערך של כל מונח בהתקדמות חשבון. כדי למצוא את המונחים של התקדמות ארימטית, אנו משתמשים בנוסחה:

ה_לא = ה₁+ (n - 1) r

דוגמא:

מצא את המונח ה -25 של P.A שהיחס שלו הוא 3 והמונח הראשון הוא 12.

נתונים ר = 3, ה₁ = 12. אנו רוצים למצוא את המונח ה -25, כלומר n = 25.

ה_לא = ה₁+ (n - 1) r

ה₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

ה₂₅ = 12 + 24 · 3

ה₂₅ = 12 + 72

ה₂₅ = 84

• קדנציה כללית של תואר P.A.

נוסחת המונח הכללי היא א דרך לפשט את הנוסחה של מונח AP כדי למצוא כל מונח התקדמות מהר יותר. לאחר שהמונח הראשון והסיבה ידועים, מספיק להחליף בנוסחה מונח של P.A., כדי למצוא את המונח הכללי של התקדמות החשבון, שתלוי רק בערך של לא.

דוגמא:

מצא את המונח הכללי של P.A. שיש לו ר = 3 וה-₁ = 2.

ה_לא = 2 + (n -1) ר

ה_לא = 2 + (n -1) 3

ה_לא = 2 + 3n - 3

ה_לא = 2n - 1

זהו המונח הכללי של P.A., המשמש למצוא כל מונח בהתקדמות זו.

• סכום התנאים של הרשות הפלסטינית

ה סכום התנאים של הרשות הפלסטינית יהיה די מייגע אם יהיה צורך למצוא כל אחד מהתנאים שלו ולצרף אותם. יש נוסחה לחישוב סכום הכול לא מונחים ראשונים להתקדמות חשבון:

דוגמא:

מצא את הסכום של כל המספרים המשונים מ -1 עד 100.

אנו יודעים שמספרים אי-זוגיים הם התקדמות חשבון של היחס 2: (1, 3, 5, 7... 99). בהתקדמות זו יש 50 מונחים, מכיוון שבין 1 ל 100, מחצית מהמספרים הם שווים והחצי השני הוא מוזר.

לכן עלינו:

n = 50

ה₁ = 1

ה_לא = 99

גישה גם: פונקציה מדרגה 1 - שימוש מעשי בהתקדמות חשבון

התקדמות גיאומטרית

ניתן לסווג מחרוזת גם כ- יחסי ציבוראוגרציה גֵאוֹמֶטרִי (PG). כדי שרצף יהיה התקדמות גיאומטרית, זו צריכה להיות סיבה, אך במקרה זה, כדי למצוא את המונח הבא מהטווח הראשון, אנו מבצעים את כפל היחס במונח הקודם.

דוגמאות:

א) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → התקדמות גיאומטרית של היחס 2, והמונח הראשון שלה הוא 3.

ב) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → התקדמות גיאומטרית של יחס 10, והמונח הראשון שלה הוא 20.

• תקופת PG

בהתקדמות גיאומטרית אנו מייצגים את הסיבה לאות מה. המונח של התקדמות גיאומטרית ניתן למצוא על ידי הנוסחה:

ה_לא = ה₁ · מה^{n - 1}

דוגמא:

מצא את המונח העשירי של PG, בידיעה זאת מה = 2 וה₁ = 5.

ה_לא = ה₁ · מה^{n - 1}

ה₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

ה₁₀ = 5 · 2⁹

ה₁₀ = 5 · 512

ה₁₀ = 2560

• מונח כללי של PG

כאשר אנו מכירים את המונח הראשון ואת הסיבה, ניתן ליצור את נוסחת המונח הכללי מהתקדמות גיאומטרית שתלויה אך ורק בערך של לא. לשם כך, עלינו רק להחליף את המונח הראשון ואת היחס, ונמצא משוואה שתלויה רק ​​בערך של לא.

בעזרת הדוגמה הקודמת, בה היחס הוא 2 והמונח הראשון הוא 5, המונח הכללי עבור רופא משפחה זה הוא:

ה_לא = ה₁ · מה^{n - 1}

ה_לא = 5 · 2^{n - 1}

• סכום המונחים של PG

הוספת כל תנאי ההתקדמות תהיה עבודה רבה. במקרים רבים, כתיבת כל הרצף להשגת סכום זה היא זמן רב. כדי להקל על חישוב זה, יש להתקדמות הגיאומטרית נוסחה המשמשת לחישוב ה- סכום של לא אלמנטים ראשונים של PG סופי:

דוגמא:

מצא את סכום 10 המונחים הראשונים של רופא המשפחה (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).

שים לב שהיחס של PG זה שווה ל -2.

ה₁ = 1

מה = 2

לא = 10

קרא גם: פונקציה אקספוננציאלית - שימוש מעשי בהתקדמות גיאומטרית

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - תרבות מסוימת של חיידקים נצפית במשך כמה ימים על ידי מדענים. אחד מהם מנתח את גידול האוכלוסייה הזו, והוא הבחין שביום הראשון היו 100 חיידקים; בשנייה 300 חיידקים; בשלישית 900 חיידקים וכן הלאה. בניתוח רצף זה נוכל לומר שהוא:

א) התקדמות חשבון של סיבה 200.

ב) התקדמות גיאומטרית של היחס 200.

ג) התקדמות אריתמטית של סיבה 3.

ד) התקדמות גיאומטרית של יחס 3.

ה) רצף, אך לא התקדמות.

פתרון הבעיה

חלופה ד '

בניתוח הרצף יש לנו את המונחים:

שימו לב כי 900/300 = 3, כמו גם 300/100 = 3. לכן, אנו עובדים עם PG של היחס 3, מכיוון שאנחנו מכפילים שלוש מהטווח הראשון.

שאלה 2 - (Enem - PPL) למתחילים בריצה נקבעה תוכנית האימונים היומית הבאה: לרוץ 300 מטר ביום הראשון ולהגדיל 200 מטר ביום מהשני. כדי לספור את הביצועים שלו, הוא ישתמש בשבב, המחובר לסניקרס שלו, כדי למדוד את המרחק המכוסה באימונים. קחו בחשבון שבב זה אוגר בזיכרונו 9.5 ק"מ של ריצה / הליכה לכל היותר, ויש להציבו בתחילת האימון ולהשליכו לאחר מיצוי השטח לשמורת נתונים. אם אתלט זה ישתמש בשבב מהיום הראשון לאימון, למשך כמה ימים רצופים הצ'יפ הזה יוכל לאחסן את הקילומטראז 'של אותה תוכנית אימונים יומית?

א) 7

ב) 8

ג) 9

ד) 12

ה) 13

פתרון הבעיה

חלופה B.

מניתוח המצב אנו יודעים שיש לנו רשות PA עם סיבה של 200 וסוף ראשוני שווה ל -300.

יתר על כן, אנו יודעים כי הסכום ש_לא = 9.5 ק"מ = 9500 מטר.

עם נתונים אלה, בואו נמצא את המונח a_לא, שהוא מספר הקילומטרים שנרשם ביום האחסון האחרון.

כדאי גם לזכור כי כל מונח א_לא ניתן לכתוב כך:

ה_לא = ה₁ + (n - 1)ר

בהתחשב במשוואה 200n² + 400n - 19000 = 0, אנו יכולים לחלק את כל המונחים ב- 200, לפשט את המשוואה ולמצוא: n² + 2n - 95 = 0.

עבור דלתא ובסקארה, עלינו:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

אנו יודעים כי 8.75 תואם 8 ימים וכמה שעות. במקרה זה, מספר הימים בהם ניתן לבצע את המדידה הוא 8.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm