לחשב את מפעל של מספר הגיוני רק כאשר אנו עובדים עם מספרים טבעיים. פעולה זו די נפוצה ב ניתוח קומבינטורי, הקלת חישוב הסדרים, תמורות, צירופים ובעיות אחרות הכרוכות בספירה. הפקטוריאל הוא מיוצג על ידי הסמל "!". אנו מגדירים את זה כ- n! (מפעל) ל הכפלת n על ידי כל קודמותיה עד שתגיע ל -1. לא! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
קרא גם: עקרון יסוד של ספירה - מושג עיקרי של ניתוח קומבינטורי
מה זה עובדתי?
עובדה היא פעולה חשובה מאוד לחקר ופיתוח ניתוח קומבינטורי. במתמטיקה, המספר ואחריו ה- סמל קריאה (!) ידוע בתור עובדה, למשל x! (x פקטוריאל).
אנו יודעים כגורם של א מספר טבעי ה מכפיל מספר זה בקודמיו למעט אפסכלומר:
לא! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
ראוי לציין שכדי שפעולה זו תהיה הגיונית, n הוא מספר טבעיכלומר, איננו מחשבים עובדה של מספר שלילי, או אפילו של מספר עשרוני, או של שברים.
חישוב עובדתי
כדי למצוא את הפקטוריון של מספר, פשוט חישב את המוצר. שימו לב גם כי המפעל הוא פעולה שמתי להגדיל את הערך של n, התוצאה גם תגדל הרבה.
דוגמאות:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
בהגדרה, יש לנו:
0! = 1
1! = 1
פעולות עובדות
כדי לפתור פעולות פקטוריות, חשוב להקפיד לא לעשות טעויות. כאשר אנו הולכים להוסיף, לחסר או להכפיל שני עובדות, יש לחשב כל אחד מהם בנפרד. רק לחטיבה דרכים ספציפיות לבצע פשטות. אל תטעו בביצוע הפעולה ושמירת הפקטוריון, או לחיסור או לחיסור או לכפל.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
כאשר אנו פותרים אחת מהפעולות הללו, עלינו לחשב כל אחד מהמפעלים.
דוגמאות:
א) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
ב) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
ג) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
ראה גם: כיצד לפתור משוואה עם עובדה?
פשטות עובדתית
חלוקות די חוזרות על עצמן. בנוסחאות של קוֹמבִּינַצִיָה, סידור ותמורה עם חזרה, תמיד נשתמש בפשטות כדי לפתור בעיות הכרוכות בפקטוריאליות. לשם כך, בואו בצע כמה צעדים.
דוגמא:
שלב ראשון: נזהה את הגדול מבין המפעלים - במקרה זה, זה 8! עכשיו, מסתכלים על המכנה, שהוא 5!, בואו נכתוב את הכפל של 8 על ידי קודמיו עד שנגיע ל -5 !.
את הפקטוריון של מספר n, כלומר n!, ניתן לשכתב ככפל של n ל- k!. לכן,
לא! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, אז בואו נכתוב 8! כמו הכפל מ 8 ל 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
אז בואו נכתוב את הסיבה כ:
שלב שני: לאחר שכתוב סיבה, אפשר לפשט את המונה עם המכנה, שכן 5! זה גם במניין וגם במכנה. לאחר הפשט פשוט הכפלו.
דוגמה 2:
ניתוח קומבינטוריות וגורמים
בעת ביצוע ה- מחקר נוסף בניתוח קומבינטורי תמיד יופיע מספר העובדות של מספר. הקיבוצים העיקריים בניתוח קומבינטורי, שהם תמורה, שילוב וסידור, משתמשים בפקטוריון של מספר בנוסחאותיהם.
תְמוּרָה
ה תְמוּרָה וה סדר מחדש את כל האלמנטים של הסט. כדי לחשב תמורה, אנו נעזרים בפקטוריאלי, שכן התמורה של אלמנטים n מחושבת על ידי:
פלא = n!
דוגמא:
כמה אנגרמות נוכל לבנות בשם HEITOR?
זו בעיית תמורה אופיינית. מכיוון שיש שם 6 אותיות, כדי לחשב את מספר האנגרמות האפשריות, פשוט חישב את P6.
פ6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
גישה גם: תמורה עם אלמנטים חוזרים ונשנים: כיצד לפתור אותה?
סידורים
לחשב סידורים זה גם דורש שליטה בפקטוריון של מספר. הסדר, כמו תמורה, הוא היווצרות סידור מחדש. ההבדל הוא, בהסדר, אנו מסדרים מחדש חלק מהסטכלומר, אנו רוצים לדעת כמה סדרים חוזרים אפשריים שנוכל ליצור על ידי בחירת כמות k של אחת מַעֲרֶכֶת עם n אלמנטים.
דוגמא:
בחברה ישנם 6 מועמדים לניהול המוסד, ושניים ייבחרו לתפקידי דירקטור וסגן מנהל. בידיעה שהם ייבחרו בהצבעה, מה מספר התוצאות האפשריות?
במקרה זה, אנו נחשב את ההסדר של 6 שנלקח מ -2 על 2, מכיוון שיש 6 מועמדים לשתי משרות פנויות.
קוֹמבִּינַצִיָה
בשילוב, כמו אצל האחרים, יש צורך לשלוט בפקטוריון של מספר. אנו מגדירים כשילוב אתה קבוצות משנה של סט. ההבדל הוא שבשילוב אין סדר מחדש, כי הסדר לא חשוב. אז אנו מחשבים כמה קבוצות משנה עם אלמנטים k אנו יכולים ליצור בקבוצת n אלמנטים.
דוגמא:
ייבחר ועד של 3 תלמידים שייצג את הכיתה. בידיעה שיש 5 מועמדים, כמה ועדות ניתן להקים?
קרא גם: סידור או שילוב?
תרגילים נפתרו
שאלה 1 - בקשר לפקטורי מספר, שפט את ההצהרות הבאות.
אני). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
א) רק אני נכון.
ב) רק II נכון.
ג) רק III נכון.
ד) רק אני ו- II נכונים.
ה) רק II ו- II נכונים.
פתרון הבעיה
חלופה א '.
אני) נכון.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) שקר.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) שקר.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
שאלה 2 - (UFF) האם המוצר 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 שווה ערך ל?
א) 20: 2
ב) 2 · 10!
ג) 20: 210
ד) 210· 10!
ה) 20!: 10!
פתרון הבעיה
חלופה ד '
כשמסתכלים על המוצר של כל המספרים הזוגיים בין 2 ל -20, אנו יודעים כי:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
כדי שנוכל לכתוב מחדש כ -210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
