פשט שבר אלגברי

בכל פעם שהמילה "אלגברי" משמשת לביטוי מספרי, פירוש הדבר שהביטוי הזה יש לפחות לא ידוע אחד, כלומר אות או סמל המשמשים לייצוג מספר לא ידוע. לפיכך, א שבר אלגברי, בתורו, הוא לא יותר משבר שיש בו לפחות אחד לא ידוע ב מְכַנֶה (תחתית השבר). לכן, ה פישוט שברים אלגבריים עוקב אחר אותו יסוד לפשט השברים המספריים.

דוגמאות לשברים אלגבריים הם:

1)

2x
4y

2)

4y² - 9x²
2y + 3x

פישוט שברים אלגבריים

פשט שבר אלגברי נובע מאותו יסוד כמו פשט שבר מספרי. יש לחלק את המונה והמכנה באותו מספר. שימו לב לדוגמא לפשט שברים:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

השבר לעיל הופשט על ידי 2, ואז על ידי 3 ואז על ידי 5. כדי לתמוך בהליך של פשט שברים אלגבריים, נכתוב את השבר הראשון לעיל בצורתו המחושבת:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

שים לב שהמספרים 2, 3 ו- 5 חוזרים על עצמם במונה ובמכנה ושהם היו בדיוק אותם מספרים שהפשט השבר היה עליהם. בהקשר של שברים אלגברייםההליך דומה, כפי שהוא הכרחי לפקטור הפולינומים הקיימים במונה ובמכנה. לאחר מכן עלינו להעריך האם ניתן לפשט חלק מהם.

דוגמאות

1) פשט את השבר האלגברי הבא:

4x²y³
16xy⁶

פקטור כל אחד מהלא ידועים והמספרים הקיימים בשבר:

4x²y³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

כעת בצע כמה שיותר חלוקות, כפי שעשית קודם לכן עבור השבר המספרי: המספרים המופיעים במנזר וגם במכנה נעלמים, כלומר, הם "גזירה". אפשר גם לכתוב שהתוצאה של כל אחת מהפשטות הללו היא 1. שעון:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

איקס
2 · 2 · y · y · y

איקס
4y³

2) לפשט את השבר האלגברי הבא:

4y² - 9x²
2y + 3x

שים לב כי המונה של זה שבר אלגברי נופל לאחד המקרים של מוצרים בולטים, כלומר הפרש שני מרובע. כדי להכניס אותו לפועל, פשוט כתוב אותו מחדש בצורתו המחושבת. לאחר מכן, ניתן "לחתוך" את המונחים המופיעים גם במכנה וגם במונה כמו בדוגמה הקודמת. שעון:

4y² - 9x²
2y + 3x

= (2y + 3x) (2y - 3x)
2y + 3x

= 1 · (2y - 3x)

= 2y + 3x

3) פשט את השבר האלגברי הבא:

ה²(y² - פי 16²)
ay + 4ax

כפי שנעשה בעבר, פקטור את הפולינומים הקיימים במונה ובמכנה. לאחר מכן, בצע את החלוקות האפשריות.

ה²(y² - פי 16²)
ay + 4ax

= ה·ה·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

שים לב כי המונה בוצע באמצעות ה- הפרש שני מרובע והמכנה בוצע באמצעות הגורם המשותף. בנוסף, המונח א² ניתן לכתוב כמוצר a · a. לסיום, בצע כמה שיותר חלוקות. כלומר, על ידי a ו- (y + 4x) על ידי (y + 4x):

ה·ה·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1 · 1 · (y - 4x)

= y - פי 4

למקרים של פקטוזציה יש חשיבות עליונה לפשט שברים אלגבריים. להלן מפורטים המקרים החשובים ביותר וכמה עמודים שבהם ניתן למצוא אותם בפירוט רב יותר.

פקטורציה של ביטויים אלגבריים

ניתן לכתוב פולינומי בצורתו המצורפת אם ניתן לבטא אותו באחת מארבע הצורות שלהלן. התוצאות שהוצגו הן צורתן המחושבת או דוגמאות כיצד לגרום להן גורם גורם:

1 - גורם משותף

אם לכל מונחי הפולינום מספר לא ידוע או נפוץ כלשהו, ​​אפשר לשים אותם כראיה. לדוגמא, בפולינום 4x² + 2x אנחנו יכולים להכניס 2x לראיות. התוצאה תהיה:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

שים לב שכאשר מבצעים את הכפל המצוין בחבר השני (הצד הימני של השוויון), התוצאה תהיה בדיוק החבר הראשון (צד שמאל של השוויון), בשל הרכוש החלוקתי של ה כֶּפֶל.

2 - קיבוץ

לאור המקרה הקודם, ניתן לשקול פולינום בעל ארבע מונחים על ידי קיבוץ, הצטרפות המונחים הנפוצים שניים ושניים, ובהמשך ישובו שוב אם התוצאות משאירות זאת אפשרות. ניתן לחשב את 2x + bx + 2y + על ידי פולינום כך:

2x + bx + 2y + על ידי

x (2 + b) + y (2 + b)

שים לב ש (2 + b) חוזר בשני המונחים החדשים. אז נוכל להוכיח את זה כראיה:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - טרינום מרובע מושלם

בכל פעם שפולינום הוא טרינום מרובע מושלם, הוא ייכתב שווה ערך לאחד משלושת הביטויים הבאים המסודרים משמאל ובאדום.

איקס² + 2x + א² = (x + a) (x + a)

איקס² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

איקס² - א² = (x + a) (x - a)

הצד הימני הוא הצורה המעובדת של הפולינום, שניתן להשתמש בו עבור ה- פשט שבר אלגברי.

4 - סכום או הפרש של שתי קוביות

בכל פעם שהפולינום נמצא בצורה הבאה או שניתן לכתוב אליו, זה יהיה סכום של שתי קוביות.

איקס³ + פי 3²ב- + 3x² + ה³ = (x + a)³

איקס³ - פי 3²ב- + 3x² - א³ = (x - a)³

שוב, הצד השמאלי, באדום, הוא הפולינום שניתן לחשב ולכתוב מחדש כמו הביטויים בצד ימין.

מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm