רצף מספרים: מה זה, סוגים, תרגילים

ה רצף מספרי, כפי שהשם מרמז, הוא רצף של מספרים ובדרך כלל יש חוק הישנות, המאפשר לחזות מה יהיו התנאים הבאים להכיר את קודמיך. אנו יכולים להרכיב רצפי מספרים עם קריטריונים שונים, כגון רצף של מספרים זוגיים, או רצף של מספרים מתחלק ב 4, רצף של מספרים ראשוניים, רצף של ריבועים מושלמים, סוף סוף, יש כמה אפשרויות של רצפים מִספָּרִי.

כאשר אנו מדרגים את הרצף מבחינת מספר המונחים, הרצף יכול להיות סופי או אינסופי. כאשר אנו מסווגים את הרצף לגבי התנהגות המונחים, רצף זה יכול להיות עולה, יורד, מתנדנד או קבוע. ישנם מקרים מיוחדים של רצפים המכונים התקדמות חשבון והתקדמות גיאומטרית.

קרא גם: כיצד לחשב את sאומא של תנאי א התקדמות חשבון?

סיכום רצף המספרים

• הרצף המספרי אינו אלא רצף מספרים.

• כמה דוגמאות רצף מספרי:

  • רצף מספרים זוגיים (0,2,4,6,8 ...);

  • רצף טבעיים פחות מ 6 (1, 2, 3, 4, 5);

  • רצף המספרים הראשוניים (2,3,5,7,11, ...).

• חוק היווצרותה של התקדמות הוא הכלל השולט ברצף זה.

• רצף יכול להיות סופי או אינסופי.

  • סופית: כאשר יש לך כמות מוגבלת של תנאים.

  • אינסופי: כאשר יש לך כמות בלתי מוגבלת של תנאים.

• רצף יכול להיות הולך וגדל, לא מאמין, קבוע או משתנה.

  • סהר: כאשר המונח תמיד קטן מיורשו.

  • יורד: כאשר המונח תמיד גדול מיורשו.

  • קבוע: כאשר המונח שווה תמיד ליורשו.

  • מתנדנד: כשיש מונחים גדולים וקטנים יותר מיורשו.

• ישנם מקרים מיוחדים של רצף המכונה התקדמות חשבון או התקדמות גיאומטרית.

חוק הופעת רצף המספרים

אנו מכירים כרצף מספרי כל רצף שנוצר על ידי מספרים. בדרך כלל אנו מדגימים רצפים על ידי רשימת המונחים שלהם, כלולים בסוגריים ומופרדים בפסיק. רשימה זו ידועה כחוק המופע של רצף מספרים.

(ה₁, א₂, א_3,..., א_לא)

ה₁ → מונח ראשון ברצף

ה₂ → מונח שני ברצף

ה₃ → מונח שלישי ברצף

ה_לא → המונח התשיעי של הרצף

בואו נסתכל על כמה דוגמאות להלן.

דוגמה 1:

חוק הופעת רצף המספרים מכפילים מתוך 5:

(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)

דוגמה 2:

חוק התרחשות הרצף של מספרים ראשוניים:

(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )

דוגמה 3:

חוק ההתרחשות של כֹּל שלילי:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)

דוגמה 4:

רצף מספרים אי זוגיים פחות מ -10:

(1, 3, 5, 7, 9)

קרא גם: מהם המאפיינים של מספרים זוגיים ואחידים?

סיווג רצפים מספרי

ישנן שתי דרכים שונות לסווג מחרוזת. הראשון הוא באשר לכמות התנאים, הדרך בה רצף יכול להיות סופי או אינסופי. הדרך השנייה לסווג רצפים היא באשר להתנהגותם. במקרה זה, הם מסווגים כגוברים, יורדים, קבועים או משתנים.

• סיווג לפי כמות התנאים

→ רצף מספרים סופיים

הרצף סופי כאשר הוא יש כמות מוגבלת של תנאים.

דוגמאות:

• (1, 2, 3, 4, 5)

• (– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)

→ רצף מספרים אינסופי

הרצף אינסופי כאשר יש לו כמות בלתי מוגבלת של מונחים.

דוגמאות:

• (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )

• (– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )

• דירוג התנהגות

→ רצף מספרים עולה

רצף עולה כשמונח כלשהו תמיד קטן מיורשו ברצף.

דוגמאות:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )

• ( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)

→ רצף מספרים יורד

רצף יורד כשמונח כלשהו תמיד גדול מיורשו ברצף.

דוגמאות:

• (10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )

• (4, – 8, – 16, – 32, – 64 )

→ רצף מספרים קבוע

רצף הוא קבוע כאשר כל המונחים ברצף זהים:

דוגמאות:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)

• ( – 4, – 4, – 4, – 4 … )

→ רצף מספרים מתנדנד

רצף מתנדנד כשיש מונחים גדולים יותר ומונחים קטנים יותר כי יורשיהם בהתאמה ברצף:

דוגמאות:

• (1,-2,4,-8,16,-32,64...)

• (1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)

חוק גיבוש רצף מספרים

ניתן לתאר כמה רצפים על ידי א נוסחה שמייצרת את התנאים שלך. נוסחה זו ידועה כחוק ההתהוות. אנו משתמשים בחוק ההתהוות כדי למצוא כל מונח ברצף כאשר אנו יודעים את התנהגותו.

דוגמה 1:

הרצף הבא נוצר על ידי ריבועים מושלמים:

(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )

אנו יכולים לתאר רצף זה על פי חוק ההיווצרות:

ה_לא = (n - 1) ²

n → מספר מונח

ה_לא → מונח המשרה לא

בעזרת נוסחה זו ניתן לדעת, למשל, את המונח שתופס מיקום מספר 10 ברצף:

ה₁₀ = ( 10 – 1) ²

ה₁₀ = 9²

ה₁₀ = 81

דוגמה 2:

ציין את תנאי הרצף שחוק היווצרותו הוא_לא = 2n - 5.

לרשימה, נמצא את המונחים הראשונים ברצף:

קדנציה ראשונה:

ה_לא = 2n - 5

ה₁ = 2·1 – 5

ה₁ = 2 – 5

ה₁ = – 3

קדנציה שנייה:

ה_לא = 2n - 5

ה₂ = 2·2 – 5

ה₂ = 4 – 5

ה₂ = – 1

קדנציה שלישית:

ה_לא = 2n - 5

ה₃ = 2·3 – 5

ה₃ = 6 – 5

ה₃ = 1

קדנציה רביעית:

ה_לא = 2n - 5

ה₄ = 2·4 – 5

ה₄ = 8 – 5

ה₄ = 3

קדנציה חמישית:

ה₅ = 2n - 5

ה₅ = 2·5 – 5

ה₅ = 10 – 5

ה₅ = 5

אז הרצף הוא:

(– 1, 1, 3, 5 … )

ראה גם: מספרים רומיים — מערכת מספרית המשתמשת באותיות לייצוג ערכים וכמויות

התקדמות חשבון והתקדמות גיאומטרית

הם קיימים מקרים מיוחדים של רצפים המכונים התקדמות חשבון והתקדמות גיאומטרית. רצף הוא התקדמות כשיש סיבה למונח של יורשו.

• התקדמות חשבון

כשאנחנו יודעים את המונח הראשון ברצף וכדי למצוא את השני,אנחנו מוסיפים הראשון לערך ר וכדי למצוא את המונח השלישי, אנו מוסיפים את השני לאותו ערך. רוכן הלאה, המחרוזת מסווגת כ- התקדמות חשבון.

דוגמא:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

זוהי התקדמות חשבון של יחס השווה ל -4 והמונח הראשון שווה ל- 1.

שימו לב שכדי למצוא את היורש של מספר ברצף, פשוט הוסיפו 4, אז אנו אומרים ש -4 היא הסיבה להתקדמות חשבון זו.

• התקדמות גיאומטרית

בְּ התקדמות גיאומטרית, יש גם סיבה, אבל במקרה זה, כדי למצוא את יורשו של מונח, עלינו להכפיל את המונח ביחס.

דוגמא:

(2, 6, 18, 54, 162, … )

זוהי התקדמות גיאומטרית של יחס השווה ל -3 והמונח הראשון שווה ל -2.

שים לב שכדי למצוא את יורשו של מספר ברצף זה, פשוט הכפל ב -3, מה שהופך את היחס של התקדמות גיאומטרית זו ל -3.

תרגילים נפתרועל רצף המספרים

שאלה 1 - בניתוח הרצף (1, 4, 9, 16, 25, ...), אנו יכולים לומר ששני המספרים הבאים יהיו:

א) 35 ו 46.

ב) 36 ו -49.

ג) 30 ו 41.

ד) 41 ו 66.

פתרון הבעיה

חלופה B.

כדי למצוא את תנאי הרצף, חשוב למצוא סדירות ברצף, כלומר להבין את חוק ההתרחשות שלו. שימו לב, מהקדנציה הראשונה לקדנציה השנייה, אנו מוסיפים 3; מהקדנציה השנייה לשלישית, אנו מוסיפים 5; מהקדנציה השלישית לרביעית ומהקדנציה הרביעית לחמישית, אנו מוסיפים בהתאמה 7 ו- 9, כך שהסכום גדל בשניים יחידות לכל מונח של הרצף, כלומר, הבא, נוסיף 11, ואז 13, ואז 15, ואז 17 וכן הלאה ברצף. כדי למצוא את יורשו של 25, נוסיף 11.

25 + 11 = 36.

כדי למצוא את יורשו של 36, נוסיף 13.

36 + 13 = 49

אז התנאים הבאים יהיו 36 ו -49.

שאלה 2 - (מכון AOCP) לאחר מכן מוצג רצף מספרי, כך שאלמנטים של רצף זה היו מסודרים בציות לחוק היווצרות (לוגיקה), כאשר x ו- y הם מספרים שלמים: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). התבוננות ברצף זה ומציאת הערכים של x ו- y, בהתאם לחוק היווצרות הרצף הנתון, נכון לקבוע כי

א) x הוא מספר גדול מ- 30.

B) y הוא מספר קטן מ- 5.

ג) סכום ה- x ו- y מביא ל- 25.

התוצר של x ו- y נותן 106.

ה) ההפרש בין y ל- x, לפי הסדר הזה, הוא מספר חיובי.

פתרון הבעיה

חלופה ג '.

אנו רוצים למצוא את המונח השביעי והשמיני של רצף זה.

בניתוח חוק התרחשות הרצף (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), ניתן לראות שיש הגיון במונחים המוזרים (מונח 1, מונח שלישי, מונח חמישי... ). שימו לב שהמונח השלישי שווה למונח הראשון מינוס 2, שכן 24 - 2 = 22. באמצעות אותה הגיון זה, המונח השביעי, המיוצג על ידי x, יהיה המונח החמישי מינוס 2, כלומר x = 20 - 2 = 18.

יש היגיון דומה למונחים השווים (מונח 2, קדנציה 4, מונח 6 ...): המונח הרביעי הוא המונח השני מינוס 2, שכן 13 - 2 = 11 וכן הלאה. אנו רוצים את המונח השמיני המיוצג על ידי y, אשר יהיה המונח השישי מינוס 2, ולכן y = 9 - 2 = 7.

אז יש לנו x = 18 ו- y = 7. בניתוח החלופות יש לנו ש- x + y = 25, כלומר סכום ה- x ו- y מביא ל- 25.

מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm