משוואה מודולרית: מה זה, איך לפתור, דוגמאות

ה משוואה מודולרית היא א משוואה שבחבר הראשון או השני, יש מונחים במודול. המודול, המכונה גם הערך המוחלט, מקושר למרחק שיש למספר לאפס. מכיוון שאנחנו מדברים על מרחק, המודול של המספר הוא תמיד חיובי. פתרון בעיות משוואה מודולרית מחייב יישום הגדרת המודולוס, בדרך כלל אנו מחלקים את המשוואה ל שני מקרים אפשריים:

• כאשר מה שנמצא בתוך המודול הוא חיובי ו

• כאשר מה שנמצא בתוך המודול הוא שלילי.

קרא גם: מה ההבדל בין פונקציה למשוואה?

מודול מספר אמיתי אחד

מודול x

על מנת להצליח לפתור בעיות משוואות מודולריות, יש לזכור את הגדרת המודולו. המודול תמיד זהה ל- המרחק מספר צריך להיות אפס, וכדי לייצג את המודול של המספר לא, אנו משתמשים בסרגל הישר באופן הבא: |לא|. כדי לחשב את |לא|, חילקנו לשני מקרים:

לכן, אנו יכולים לומר ש |לא| זהה לשלה לא כאשר זהו מספר חיובי או שווה לאפס, ובמקרה השני |לא| שווה להיפך מ לא אם זה שלילי. זכרו שההפך ממספר שלילי הוא תמיד חיובי, ולכן |לא| תמיד יש תוצאה שווה למספר חיובי.

דוגמאות:

א) | 2 | = 2
ב) | -1 | = - (- 1) = 1

ראה גם: כיצד לפתור משוואה לוגריתמית?

כיצד לפתור משוואה מודולרית?

כדי למצוא את הפיתרון של משוואה מודולרית, יש צורך לנתח כל אחת מהאפשרויות, כלומר לחלק, תמיד בשני מקרים, כל אחד מהמודולים. בנוסף להכרת הגדרת המודול, לפתרון משוואות מודולריות,

חשוב לדעת לפתור משוואות פולינום.

דוגמה 1:

| x - 3 | = 5

כדי למצוא את הפיתרון למשוואה זו, חשוב לזכור שיש שתי תוצאות אפשריות שגורמות |לא| = 5, זה הם, לא = -5, מאז | -5 | = 5, וגם לא = 5, כי | 5 | = 5. לכן, באמצעות אותו רעיון עלינו:

אני → x - 3 = 5 או
II → x - 3 = -5

פתרון אחת מהמשוואות בנפרד:

החלטה I:

x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8

החלטה II:

x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2

אז ישנם שני פתרונות: S = {-2, 8}.

שים לב שאם x = 8, המשוואה נכונה כי:

| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5

שימו לב גם שאם x = -2, המשוואה נכונה גם:

|-2 – 3| = 5
|-5| = 5

דוגמה 2:

| 2x + 3 | = 5

כמו בדוגמה 1, כדי למצוא את הפתרון, יש צורך לחלק אותו לשני מקרים, על פי הגדרת המודול.

אני → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5

החלטה I:

2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1

החלטה II:

2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4

אז ה מַעֲרֶכֶת הפתרונות הוא: S = {1, -4}.

דוגמה 3:

| x + 3 | = | 2x - 1 |

כשיש לנו שוויון בין שני מודולים, עלינו לחלק אותו לשני מקרים:

מקרה ראשון, חבר ראשון ושני באותו סימן.

מקרה שני, חבר ראשון ושני בסימנים מנוגדים.

החלטה I:

אנו נהפוך את שני הצדדים לגדולים מאפס, כלומר פשוט נסיר את המודול. אנחנו יכולים לעשות גם עם שני השליליות, אבל התוצאה תהיה זהה.

X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1

x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4

החלטה II:

צדי סימנים מנוגדים. אנו נבחר בצד אחד להיות חיובי ובצד השני להיות שלילי.

בְּחִירָה:

| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)

אז עלינו:

x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3

אז מערך הפתרונות הוא: S = {4, -2/3}.

גישה גם: מהן משוואות לא רציונליות?

תרגילים נפתרו

שאלה 1 - (UFJF) מספר הפתרונות השליליים של המשוואה המודולרית | 5x - 6 | = x² הוא:

א) 0
ב) 1
ג) 2
ד) 3
דואר 4

פתרון הבעיה

חלופה ה

אנו רוצים לפתור את המשוואה המודולרית:

| 5x - 6 | = x²

אז בואו נחלק אותו לשני מקרים:

החלטה I:

5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6

אז עלינו:

5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0

זכור שערך הדלתא אומר לנו כמה פתרונות יש למשוואה הריבועית:

a = -1
b = 5
c = -6

Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1

מכיוון ש -1 חיובי, אז במקרה זה ישנם שני פתרונות אמיתיים.

החלטה II:

| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49

מכיוון ש- Δ חיובי גם במקרה זה, אז ישנם שני פתרונות אמיתיים, ולכן סך הפתרונות האמיתיים הוא 4.

שאלה 2 - (PUC SP) קבוצת הפתרונות S של המשוואה | 2x - 1 | = x - 1 הוא:

א) S = {0, 2/3}
ב) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
ד) S = {0, -1}
ה) S = {0, 4/3}

פתרון הבעיה

חלופה א

החלטה I:

| 2x - 1 | = 2x - 1

אז עלינו:

2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0

החלטה II:

| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3 

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm