בין הדרכים למצוא את הערך המספרי של x, תהליך המכונה גם למצוא את שורשי המשוואה אוֹ למצוא את הפיתרון של משוואה, לבלוט: נוסחת בהאסקרה זה ה תהליך של השלמת ריבועים. האחרון הוא מוקד הטקסט של ימינו.
מספר הפתרונות למשוואה ניתן לפי המידה שלה. לכן, למשוואות מדרגה ראשונה יש פיתרון אחד בלבד, למשוואות מדרגה שלישית יש שלושה פתרונות, וכן למשוואות ריבועיות יש שני פתרונות, הנקראים גם שורשים..
משוואות תואר שני, בצורתן המוקטנת, ניתנות לכתוב כדלקמן:
גַרזֶן2 + bx + c = 0
שיטת השלמה מרובעת
במקרה כזה המשוואה הריבועית היא טרינום מרובע מושלם
משוואות מדרגה שנייה הנובעות ממוצר יוצא דופן מכונות טרינום מרובע מושלם. כדי למצוא את שורשיה, נשתמש בשיטה המוצגת להלן:
דוגמא: חשב את שורשי המשוואה x2 + 6x + 9 = 0.
שימו לב שהמקדם b הוא 6 = 2 · 3. כדי לכתוב את זה בצורה של מוצר יוצא דופן, פשוט בדוק אם c = 32, וזה נכון, מאז 32 = 9 = ג. בדרך זו נוכל לכתוב:
איקס2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
שים לב כי מוצר בולט הוא המוצר שבין שני פולינומים שווים. במקרה של משוואה זו, יהיה לנו:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
מוצר שווה לאפס רק כאשר אחד הגורמים שלו שווה לאפס. לכן, עבור (x + 3) (x + 3) = 0, יש צורך ש (x + 3) = 0 או (x + 3) = 0. מכאן שתי התוצאות השוות למשוואה x
2 + 6x + 9 = 0, שהם: x = - 3 או x = - 3.בקצרה: כדי לפתור את משוואת x2 + 6x + 9 = 0, כתוב:
איקס2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 או x = - 3
במקרה כזה המשוואה הריבועית אינה טרינום מרובע מושלם
משוואה של השנייה בה מקדם b ומקדם c אינם עומדים ביחסים שנקבעו לעיל אינה טרינומיאל מרובע מושלם. במקרה זה, ניתן להשתמש בשיטת הפתרון המודגשת לעיל בתוספת מספר שלבים. שימו לב לדוגמא הבאה:
דוגמא: חשב את שורשי המשוואה x2 + 6x - 7 = 0.
שים לב שמשוואה זו אינה טרינום מרובע מושלם. לשם כך אנו יכולים להשתמש בפעולות הבאות:
שימו לב כי b = 2 · 3, כך שבחבר הראשון הביטוי שצריך להופיע הוא x2 + 6x + 9, מכיוון שבביטוי זה b = 2 · 3 ו- c = 32.
ל"טרנספורמציה "זו, הוסף 32 על שני חברי משוואה זו, "העבירו" את - 7 לחבר השני, בצעו את הפעולות האפשריות וצפו בתוצאות:
איקס2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
איקס2 + 6x + 32 = 32 + 7
איקס2 + 6x + 9 = 9 + 7
איקס2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 או x + 3 = - 4
יש לפצל את הצעד האחרון לשתי משוואות, שכן השורש של 16 יכול להיות 4 או - 4 (זה קורה רק במשוואות. אם נשאל מהו שורש 16, התשובה היא רק 4). לכן, יש צורך למצוא את כל התוצאות האפשריות. ממשיך:
x + 3 = 4 או x + 3 = - 4
x = 4 - 3 או x = - 4 - 3
x = 1 או x = - 7
במקרה כזה המקדם "a" אינו שווה ל- 1
המקרים הקודמים מיועדים למשוואות ריבועיות כאשר המקדם "a" שווה ל -1. אם המקדם "a" שונה מ -1, פשוט חלקו את כל המשוואה בערך "a" והמשיכו עם החישובים באותו אופן כמו במקרה הקודם.
דוגמא: חישב 2x שורשים2 + 16x - 18 = 0
שים לב ש a = 2. אז חלקו את כל המשוואה ב -2 ופשטו את התוצאות:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
איקס2 + 8x - 9 = 0
לאחר שהדבר נעשה, חזור על נהלי המקרה הקודם.
איקס2 + 8x - 9 = 0
איקס2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
איקס2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 או x + 4 = –5
x = 5 - 4 או x = - 5 - 4
x = 1 או x = - 9
מוצרים בולטים ומשוואות תואר שני: מקור שיטת ההשלמה המרובעת
המשוואות הריבועיות דומות למוצרים המדהימים סכום מרובע ו ריבוע ההבדל.
הסכום בריבוע, למשל, הוא סכום של שני מונומיות בריבוע. שעון:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
החבר הראשון בשוויון הנ"ל מכונה מוצר יוצא דופן והשנייה איך טרינום מרובע מושלם. האחרון דומה מאוד למשוואה של התואר השני. שעון:
טרינום מרובע מושלם: איקס2 + 2kx + k2
משוואה לתואר שני: גַרזֶן2 + bx + c = 0
בדרך זו, אם יש דרך לכתוב משוואה ריבועית כמוצר יוצא דופן, אולי יש גם דרך למצוא את התוצאות שלך ללא צורך להשתמש בנוסחה בהאסקרה.
לשם כך, שים לב שבמוצר הבולט לעיל, a = 1, b = 2 · k ו- c = k2. באופן זה ניתן לכתוב משוואות העומדות בדרישות אלה בצורת מוצר יוצא דופן.
אז תסתכל על המקדמים במשוואה. אם "a" שונה מ -1, חלקו את כל המשוואה בערך "a". אחרת, התבונן במקדם "b". הערך המספרי של מחצית ממקדם זה חייב להיות שווה לערך המספרי של השורש הריבועי של המקדם "c". מתמטית, בהתחשב בגרזן המשוואה2 + bx + c = 0, אם a = 1 ובנוסף:
ב = ג
2
אז אתה יכול לכתוב את המשוואה הזו כך:
גַרזֶן2 + bx + c = (x + ב) = 0
2
ושורשיה יהיו ב ו + ב.
2 2
מכאן כל התיאוריה המשמשת לחישוב שורשים של משוואות ריבועיות בשיטת השלמת הריבועים.
מאת לואיז פאולו מוריירה
בוגר מתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
