הומותטיה. בניית דמויות דומות מאת הומוטטיה

ניתן לנתח כמה היבטים כדי להגדיר אם דמות אחת דומה לאחרת. לדוגמא, במשולשים ישנם לפחות ארבעה מקרים של התאמה. אך באופן כללי, ניתן לומר ששתי דמויות או יותר דומות אם יש להם אותן זוויות, אותו מספר צדדים ופרופורציה כלשהי בין מדידות הצדדים. חלופה המוצגת לבניית נתונים דומים היא הומטיות.

הומוטות היא סוג של טרנספורמציה גיאומטרית שתפסה מושב אחורי כאשר הנושא היה דמיון לדמויות. עם זאת, זהו בעל ברית חזק להגדלה או הקטנה של דמויות גיאומטריות. באופן כללי, כאשר מיישמים התרחבות על רישום, המאפיינים העיקריים, כגון צורה וזוויות, נשמרים; אבל גודל הדמות משתנה. ניתן להסביר קשר זה באמצעות הגזירה היוונית של המילה הומותטיה, בה הומוס אומר שווה, ו תאטוס, ממוקםכלומר, הדמויות ההומותטיות ממוקמות במרחק שווה ל"משהו ". מכונות מכונת צילום שמבצעות הגדלות או צמצומים משתמשות בדרך כלל בהומטיות כעקרון בהפעלתן. בואו נראה קצת יותר על דמויות הומותטיות להלן:

יחס הרחבה בין מקטעים א.ב., AB ' ו AB ''

באיור לעיל, יש קטע א.ב. שממנו ברצונך ליצור פלח החל מ- A שיש בו פעמיים קטע זה. לשם כך, צור את הקטע AB ', מודגש באדום באיור לעיל. לפיכך, ניתן לומר כי:

AB ' = 2. א.ב. או בכל זאת

א.ב. = 1

AB ' 2

במקרה זה, קיימת הומוטות ממוקדת A. נקודה B נקראת תמונה (אוֹ הומוטטימנקודה B.

אם תרצה להתחקות אחר קטע חדש שהיה משולש את הקטע הראשוני, יהיה הקטע AB '', מודגש בירוק באיור, אשר יתאים לשלושה אורכו א.ב.. לכן, בין המגזרים הללו תהיה הסיבה הבאה:

AB '' = 3. א.ב. או בכל זאת

א.ב. = 1

AB '' 3

במקרה זה, יש התרחבות שבמרכזה A, ונקודה B "היא התמונה של נקודה B או ההומוטטית של נקודה B.

האם ניתן ליצור קשר בין AB ' ו AB ''? אם AB ' = 2. א.ב. ו AB '' = 3. א.ב., בקרוב:

AB ' = 2. א.ב. → א.ב. = 1 . AB '
2

AB '' = 3. א.ב. → א.ב. = 1 . AB ''
3

לָכֵן:

1 . AB ' = 1 . AB ''
2 3

AB ' = 2 . AB ''
3

היחס בין המגזרים AB ' ו AB '' זה מ ⅔.

עכשיו תסתכל על יחס הרחבה להגדלת משושה. החל ממרכז A, יש התרחבות יחס 3, כי אורך הקטע AB ' הוא משולש את הקטע א.ב.. אפשר לראות שהסיבה נשמרת ביחס לכל שאר קודקודי המשושה. המשושה אמנם לא שינה את צורתו הראשונית, אך מדידת צלעותיו גדלה שלוש פעמים, אך זוויותיו הפנימיות נותרו ללא שינוי.

באמצעות יחסי הרחבה, אנו יכולים להבטיח שהמשושים דומים, אך הגדול ביותר הוא פי שלושה מגודל הקטן ביותר

מאת אמנדה גונסאלבס
בוגר מתמטיקה