O נפח כדור הוא המקום שתפוס על ידי זה מוצק גיאומטרי. דרך הקרן של כַּדוּר - כלומר, מהמרחק בין המרכז למשטח - אפשר לחשב את נפחו.
קרא גם: נפח של מוצקים גיאומטריים
סיכום על נפח הכדור
הכדור הוא א גוף עגול מתקבל על ידי סיבוב חצי עיגול סביב ציר המכיל את הקוטר.
כל הנקודות בכדור נמצאות במרחק שווה או קטן מ-r ממרכז הכדור.
נפח הכדור תלוי במידת הרדיוס.
הנוסחה לנפח הכדור היא \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
שיעור וידאו על עוצמת הקול
מה זה כדור?
קחו בחשבון נקודה O במרחב וקטע עם מידה r. הכדור הוא ה מוצק שנוצר על ידי כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה או קטן מ-r מ-O. אנו קוראים ל-O מרכז הכדור ול- r רדיוס הכדור.
הכדור יכול להיות גם מאופיין כמוצק של מהפכה. שימו לב שסיבוב חצי עיגול סביב ציר המכיל את הקוטר שלו יוצר כדור:
נוסחת נפח כדור
כדי לחשב את נפח V של כדור, אנו משתמשים בנוסחה שלהלן, כאשר r הוא רדיוס הכדור:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
חשוב להקפיד על יחידת מידה רדיוס כדי לקבוע את יחידת המידה לנפח. לדוגמה, אם r ניתן בס"מ, אז הנפח חייב להינתן בס"מ³.
כיצד לחשב את נפח הכדור?
חישוב נפח הכדור תלוי רק במדידת הרדיוס. בואו נסתכל על דוגמה.
דוגמא: בעזרת הקירוב π = 3, מצא את הנפח של כדורסל שקוטרו 24 סנטימטרים.
מכיוון שהקוטר הוא כפול מהרדיוס, r = 12 ס"מ. החלת הנוסחה עבור נפח הכדור, יש לנו
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
אזורי כדור
שקול כדור עם מרכז O ורדיוס r. ככה, אנחנו יכולים לשקול שלושה אזורים של התחום הזה:
האזור הפנימי נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מהרדיוס. אם P שייך לאזור הפנימי של הכדור, אז
\(D(P, O)
אזור פני השטח נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז שווה לרדיוס. אם P שייך לאזור פני השטח של הכדור, אז
\(D(P, O)=r\)
האזור החיצוני נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז גדול מהרדיוס. אם P שייך לאזור הפנימי של הכדור, אז
\(D(P, O)>r\)
כתוצאה מכך, נקודות באזור החיצוני של הכדור אינן שייכות לכדור.
יודע יותר: מכסה כדורי - מוצק המתקבל כאשר כדור נחתך על ידי מישור
נוסחאות כדור אחרות
א אזור כדור - כלומר, למדידת פני השטח שלו - יש גם נוסחה ידועה. אם r הוא רדיוס הכדור, שטחו A מחושב לפי
\(A=4·π·r^2\)
במקרה זה, חשוב לציין גם את יחידת המדידה של הרדיוס כדי לציין את יחידת המידה של השטח. לדוגמה, אם r הוא בס"מ, אז A חייב להיות בס"מ².
פתרו תרגילים על נפח הכדור
שאלה 1
מהו הרדיוס של כדור שנפחו 108 סנטימטר מעוקב? (השתמש ב-π = 3).
א) 2 ס"מ
ב) 3 ס"מ
ג) 4 ס"מ
ד) 5 ס"מ
ה) 6 ס"מ
פתרון הבעיה
חלופה ב'.
תשקול את זה ר הוא רדיוס הכדור. בידיעה ש-V = 108, נוכל להשתמש בנוסחה לנפח הכדור:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ ס"מ\)
שאלה 2
מאגר כדורי עתיק בקוטר 20 מטר ובעל נפח V1. רצוי לבנות מאגר שני, בנפח V2, עם נפח כפול מהמאגר הישן. אז, V2 זה אותו דבר כמו
ה) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
ב) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
ד) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
זה) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
פתרון הבעיה
אלטרנטיבה E.
מכיוון שהקוטר הוא כפול מהרדיוס, למאגר הישן יש רדיוס r = 10 מטר. לָכֵן
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
לפי ההצהרה, \(V_2=2·V_1\), כלומר
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה
מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm
