נפח כדור: איך לחשב?

O נפח כדור הוא המקום שתפוס על ידי זה מוצק גיאומטרי. דרך הקרן של כַּדוּר - כלומר, מהמרחק בין המרכז למשטח - אפשר לחשב את נפחו.

קרא גם: נפח של מוצקים גיאומטריים

סיכום על נפח הכדור

  • הכדור הוא א גוף עגול מתקבל על ידי סיבוב חצי עיגול סביב ציר המכיל את הקוטר.

  • כל הנקודות בכדור נמצאות במרחק שווה או קטן מ-r ממרכז הכדור.

  • נפח הכדור תלוי במידת הרדיוס.

  • הנוסחה לנפח הכדור היא \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

שיעור וידאו על עוצמת הקול

מה זה כדור?

קחו בחשבון נקודה O במרחב וקטע עם מידה r. הכדור הוא ה מוצק שנוצר על ידי כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה או קטן מ-r מ-O. אנו קוראים ל-O מרכז הכדור ול- r רדיוס הכדור.

ייצוג של כדור ורדיוס שלו.

הכדור יכול להיות גם מאופיין כמוצק של מהפכה. שימו לב שסיבוב חצי עיגול סביב ציר המכיל את הקוטר שלו יוצר כדור:

ייצוג של סיבוב של חצי עיגול ליצירת כדור.

נוסחת נפח כדור

כדי לחשב את נפח V של כדור, אנו משתמשים בנוסחה שלהלן, כאשר r הוא רדיוס הכדור:

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

חשוב להקפיד על יחידת מידה רדיוס כדי לקבוע את יחידת המידה לנפח. לדוגמה, אם r ניתן בס"מ, אז הנפח חייב להינתן בס"מ³.

כיצד לחשב את נפח הכדור?

חישוב נפח הכדור תלוי רק במדידת הרדיוס. בואו נסתכל על דוגמה.

דוגמא: בעזרת הקירוב π = 3, מצא את הנפח של כדורסל שקוטרו 24 סנטימטרים.

מכיוון שהקוטר הוא כפול מהרדיוס, r = 12 ס"מ. החלת הנוסחה עבור נפח הכדור, יש לנו

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ cm^3\)

אזורי כדור

שקול כדור עם מרכז O ורדיוס r. ככה, אנחנו יכולים לשקול שלושה אזורים של התחום הזה:

  • האזור הפנימי נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מהרדיוס. אם P שייך לאזור הפנימי של הכדור, אז

\(D(P, O)

  • אזור פני השטח נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז שווה לרדיוס. אם P שייך לאזור פני השטח של הכדור, אז

\(D(P, O)=r\)

  • האזור החיצוני נוצר מהנקודות שמרחקן מהמרכז גדול מהרדיוס. אם P שייך לאזור הפנימי של הכדור, אז

\(D(P, O)>r\)

כתוצאה מכך, נקודות באזור החיצוני של הכדור אינן שייכות לכדור.

יודע יותר: מכסה כדורי - מוצק המתקבל כאשר כדור נחתך על ידי מישור

נוסחאות כדור אחרות

א אזור כדור - כלומר, למדידת פני השטח שלו - יש גם נוסחה ידועה. אם r הוא רדיוס הכדור, שטחו A מחושב לפי

\(A=4·π·r^2\)

במקרה זה, חשוב לציין גם את יחידת המדידה של הרדיוס כדי לציין את יחידת המידה של השטח. לדוגמה, אם r הוא בס"מ, אז A חייב להיות בס"מ².

פתרו תרגילים על נפח הכדור

שאלה 1

מהו הרדיוס של כדור שנפחו 108 סנטימטר מעוקב? (השתמש ב-π = 3).

א) 2 ס"מ

ב) 3 ס"מ

ג) 4 ס"מ

ד) 5 ס"מ

ה) 6 ס"מ

פתרון הבעיה

חלופה ב'.

תשקול את זה ר הוא רדיוס הכדור. בידיעה ש-V = 108, נוכל להשתמש בנוסחה לנפח הכדור:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ ס"מ\)

שאלה 2

מאגר כדורי עתיק בקוטר 20 מטר ובעל נפח V1. רצוי לבנות מאגר שני, בנפח V2, עם נפח כפול מהמאגר הישן. אז, V2 זה אותו דבר כמו

ה) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

ב) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)

w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

ד) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

זה) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

פתרון הבעיה

אלטרנטיבה E.

מכיוון שהקוטר הוא כפול מהרדיוס, למאגר הישן יש רדיוס r = 10 מטר. לָכֵן

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

לפי ההצהרה, \(V_2=2·V_1\), כלומר

\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm

האם אפשר למחוק זיכרונות טראומטיים מהמוח? יודע יותר!

מדעי המוח חקרו דרכים לשכוח זיכרונות טראומטיים באמצעות מחקרים ובדיקות על בעלי חיים. בעוד למערכות ה...

read more

חתול עושה משהו לא בסדר והתגובה שלו מקסימה בצורה מצחיקה

חתולים ידועים באישיות החזקה שלהם וביכולתם להפתיע אותנו בהתנהגות מצחיקה או אפילו מבלבלת. לאחרונה, ...

read more

הסכם שיתוף פעולה מדעי נחתם בין פיוקרוז למכון הסיני

הסכם שיתוף פעולה בתחום המדע והטכנולוגיה הוקם היום (12) בבייג'ין בין הקרן אוסוולדו קרוז (פיוקרוז) ...

read more