טנג'נט: מה זה, איך לחשב את זה, דוגמאות

א מַשִׁיק (בקיצור tg או tan) הוא א פונקציה טריגונומטרית. כדי לקבוע את הטנגנס של זווית, נוכל להשתמש באסטרטגיות שונות: לחשב את היחס בין הסינוס לקוסינוס של הזווית, אם הם ידועים; השתמש בטבלה משיקת או במחשבון; חשב את היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה, אם הזווית המדוברת היא פנימית (חריפה) של משולש ישר זווית, בין היתר.

קרא גם: למה משמש המעגל הטריגונומטרי?

סיכום על משיק

• טנגנט היא פונקציה טריגונומטרית.

• הטנגנס של זווית פנימית למשולש ישר זווית הוא היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה.

• הטנגנס של כל זווית הוא היחס בין הסינוס והקוסינוס של זווית זו.

• הפונקציה \(f (x)=tg\ x\) מוגדר עבור זוויות איקס מתבטא ברדיאנים, כך cos \(cos\ x≠0\).

• הגרף של פונקציית המשיק מציג אסימפטוטות אנכיות עבור הערכים, כאשר \(x= \frac{π}2+kπ\), עם ק שלם, כאילו \(x=-\frac{π}2\).

• חוק המשיקים הוא ביטוי המקשר, בכל משולש, את המשיקים של שתי זוויות ואת הצלעות מול אותן זוויות.

טנגנט של זווית

אם α הוא אחד זָוִית פנימי של א משולש ישר זווית, הטנגנס של α הוא היחס בין אורך הרגל הנגדית ואורך הרגל הסמוכה:

עבור כל זווית α, הטנגנס הוא היחס בין ה-sin α לקוסינוס של α, שבו \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

יש לשים לב שאם α הוא זווית ברביע 1 או 3, למשיק יהיה סימן חיובי; אבל אם α היא זווית של הרביע השני או הרביעי, למשיק יהיה סימן שלילי. קשר זה נובע ישירות מכלל הסימנים בין הסימנים של סינוס וקוסינוס עבור כל α.

חָשׁוּב: שימו לב שהטנגנס לא קיים עבור ערכים של α where \(cos\ α=0\). זה קורה עבור זוויות של 90°, 270°, 450°, 630° וכן הלאה. כדי לייצג את הזוויות הללו בצורה כללית, אנו משתמשים בסימון רדיאן: \(\frac{ π}2+kπ\), עם ק כֹּל.

טג'נט של זוויות בולטות

שימוש בביטוי \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), נוכל למצוא את המשיקים של זוויות יוצאות דופן, שהן הזוויות של 30°, 45° ו-60°:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

מעניין: בנוסף לאלה, אנו יכולים לנתח את ערכי המשיק עבור הזוויות של 0° ו- 90°, שנמצאות גם בשימוש נרחב. מכיוון שחטא 0° = 0, אנו מסיקים ש-tan 0° = 0. עבור זווית 90°, מכיוון ש-cos90° = 0, המשיק אינו קיים.

איך מחשבים את הטנגנס?

כדי לחשב את הטנגנס, אנו משתמשים בנוסחה tg α=sin αcos α, המשמשת לחישוב הטנגנס של כל זווית. הבה נסתכל על כמה דוגמאות להלן.

• דוגמה 1

מצא את הטנגנס של זווית α במשולש הישר למטה.

פתרון הבעיה:

לגבי הזווית α, הצלע של מידה 6 היא הצלע הנגדי והצד של מידה 8 היא הצלע הסמוכה. ככה:

\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)

• דוגמה 2

בידיעה ש \(sin\ 35°≈0.573\) ובגלל\(35°≈0,819\), מצא את הערך המשוער למשיק 35°.

פתרון הבעיה:

מכיוון שהטנגנס של זווית הוא היחס בין הסינוס לקוסינוס של זווית זו, יש לנו:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)

\(tg\ 35°≈0.700\)

פונקציית משיק

הפונקציה fx=tg x מוגדרת עבור זוויות איקס מתבטא ברדיאנים, כך ש \(cos\ x≠0\). המשמעות היא שהתחום של פונקציית המשיק מבוטא על ידי:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

יתר על כן, הכל מספרים אמיתיים הם התמונה של פונקציית המשיק.

← גרף של פונקציית המשיק

שימו לב שלגרף הפונקציה המשיק יש אסימפטוטים אנכיים עבור הערכים היכן \(x= \frac{π}2+kπ\), עם ק שלם, כאילו \( x=-\frac{π}2\). עבור ערכים אלה של איקס, המשיק אינו מוגדר (כלומר, המשיק אינו קיים).

ראה גם: מה זה תחום, טווח ותמונה?

חוק המשיקים

חוק המשיקים הוא א ביטוי שמשייך, בא משולש כל, המשיקים של שתי זוויות והצלעות מול זוויות אלו. לדוגמה, שקול את הזוויות α ו-β של משולש ABC למטה. שימו לב שהצלע CB = a מול הזווית α ושהצלע AC = b מול הזווית β.

חוק המשיקים קובע כי:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)

יחסים טריגונומטריים

אל ה יחסים טריגונומטריים הן הפונקציות הטריגונומטריות שעובדות על המשולש הימני. אנו מפרשים את היחסים הללו כיחסים בין הצלעות והזוויות של משולש מסוג זה.

פתרו תרגילים על טנגנס

שאלה 1

תן θ להיות זווית של הרביע השני כך שחטא\(sin\ θ≈0.978\), אז tgθ הוא בערך:

א) -4,688

ב) 4,688

ג) 0.2086

ד) -0.2086

ה) 1

פתרון הבעיה

חלופה א'

אם \(sin\ θ≈0.978\), אם כן, תוך שימוש בזהות הבסיסית של טריגונומטריה:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0.978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0.956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)

מכיוון ש- θ היא זווית של הרביע השני, אז cosθ הוא שלילי, לכן:

\(cos\ θ≈- 0.2086\)

בקרוב:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)

שאלה 2

שקול משולש ישר זווית ABC עם רגליים AB = 3 ס"מ ו-AC = 4 ס"מ. הטנגנס של זווית B הוא:

א) \(\frac{3}4\)

ב) \(\frac{3}5\)

W) \(\frac{4}3\)

ד) \(\frac{4}5\)

ו) \(\frac{5}3\)

פתרון הבעיה:

חלופה C

לפי האמירה, הרגל מול הזווית \(\hat{B}\) הוא ה-AC בגודל 4 ס"מ והרגל צמודה לזווית \(\hat{B}\) הוא AB במידה של 3 ס"מ. ככה:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה