טנג'נט: מה זה, איך לחשב את זה, דוגמאות

א מַשִׁיק (בקיצור tg או tan) הוא א פונקציה טריגונומטרית. כדי לקבוע את הטנגנס של זווית, נוכל להשתמש באסטרטגיות שונות: חשב את היחס בין הסינוס לקוסינוס של הזווית, אם הם ידועים; השתמש בטבלה משיקת או במחשבון; חשב את היחס בין הרגל הנגדית לזו הסמוכה, אם הזווית המדוברת היא פנימית (חריפה) של משולש ישר זווית, בין היתר.

קראו גם: למה משמש המעגל הטריגונומטרי?

נושאי מאמר זה

• 1 - סיכום על טנגנס
• 2 - טנג'נט של זווית
• 3 - טנג'נט של זוויות בולטות
• 4 - איך מחשבים את הטנגנס?
  • ← גרף של פונקציית המשיק
• 5 - חוק המשיקים
• 6 - יחסים טריגונומטריים
• 7 - פתרו תרגילים על טנגנס

סיכום על משיק

• טנגנט היא פונקציה טריגונומטרית.

• הטנגנס של זווית פנימית למשולש ישר זווית הוא היחס בין הצלע הנגדית לצלע הסמוכה.

• הטנגנס של כל זווית הוא היחס בין הסינוס והקוסינוס של זווית זו.

• הפונקציה \(f (x)=tg\ x\) מוגדר עבור זוויות איקס מתבטא ברדיאנים, כך cos \(cos\ x≠0\).

• הגרף של פונקציית המשיק מציג אסימפטוטות אנכיות עבור הערכים, כאשר \(x= \frac{π}2+kπ\), עם ק שלם, כאילו \(x=-\frac{π}2\).

• חוק המשיקים הוא ביטוי המקשר, בכל משולש, את המשיקים של שתי זוויות ואת הצלעות מול אותן זוויות.

טנגנט של זווית

אם α הוא אחד זָוִית פנימי של א משולש ישר זווית, הטנגנס של α הוא היחס בין אורך הרגל הנגדית ואורך הרגל הסמוכה:

עבור כל זווית α, הטנגנס הוא היחס בין ה-sin α לקוסינוס של α, שבו \(cos\ α≠0\):

\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)

יש לשים לב שאם α הוא זווית ברביע 1 או 3, למשיק יהיה סימן חיובי; אבל אם α היא זווית של הרביע השני או הרביעי, למשיק יהיה סימן שלילי. קשר זה נובע ישירות מכלל הסימנים בין הסימנים של סינוס וקוסינוס עבור כל α.

חָשׁוּב: שימו לב שהטנגנס לא קיים עבור ערכים של α where \(cos\ α=0\). זה קורה עבור זוויות של 90°, 270°, 450°, 630° וכן הלאה. כדי לייצג את הזוויות הללו בצורה כללית, אנו משתמשים בסימון רדיאן: \(\frac{ π}2+kπ\), עם ק כֹּל.

אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי הפרסום ;)

טג'נט של זוויות בולטות

שימוש בביטוי \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), נוכל למצוא את המשיקים של זוויות יוצאות דופן, שהן הזוויות של 30°, 45° ו-60°:

\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1 }{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)

\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)

\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)

מעניין: בנוסף לאלה, אנו יכולים לנתח את ערכי המשיק עבור הזוויות של 0° ו- 90°, שנמצאות גם בשימוש נרחב. מכיוון שחטא 0° = 0, אנו מסיקים ש-tan 0° = 0. עבור זווית 90°, מכיוון ש-cos90° = 0, המשיק אינו קיים.

איך מחשבים את הטנגנס?

כדי לחשב את הטנגנס, אנו משתמשים בנוסחה tg α=sin αcos α, המשמשת לחישוב הטנגנס של כל זווית. הבה נסתכל על כמה דוגמאות להלן.

• דוגמה 1

מצא את הטנגנס של זווית α במשולש הישר למטה.

פתרון הבעיה:

לגבי הזווית α, הצלע של מידה 6 היא הצלע הנגדי והצד של מידה 8 היא הצלע הסמוכה. ככה:

\(tg\ α=\frac{6}8=0.75\)

• דוגמה 2

בידיעה ש \(sin\ 35°≈0.573\) ובגלל\(35°≈0,819\), מצא את הערך המשוער למשיק 35°.

פתרון הבעיה:

מכיוון שהטנגנס של זווית הוא היחס בין הסינוס לקוסינוס של זווית זו, יש לנו:

\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0.573}{0.819}\)

\(tg\ 35°≈0.700\)

פונקציית משיק

הפונקציה fx=tg x מוגדרת עבור זוויות איקס מתבטא ברדיאנים, כך ש \(cos\ x≠0\). המשמעות היא שהתחום של פונקציית המשיק מבוטא על ידי:

\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)

יתר על כן, הכל מספרים אמיתיים הם התמונה של פונקציית המשיק.

← גרף של פונקציית המשיק

שימו לב שלגרף הפונקציה המשיק יש אסימפטוטים אנכיים עבור הערכים היכן \(x= \frac{π}2+kπ\), עם ק שלם, כאילו \( x=-\frac{π}2\). עבור ערכים אלה של איקס, המשיק אינו מוגדר (כלומר, המשיק אינו קיים).

ראה גם: מה זה תחום, טווח ותמונה?

חוק המשיקים

חוק המשיקים הוא א ביטוי שמשייך, בא משולש כל, המשיקים של שתי זוויות והצלעות מול זוויות אלו. לדוגמה, שקול את הזוויות α ו-β של משולש ABC למטה. שימו לב שהצלע CB = a מול הזווית α ושהצלע AC = b מול הזווית β.

חוק המשיקים קובע כי:

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\ )

יחסים טריגונומטריים

אל ה יחסים טריגונומטריים הן הפונקציות הטריגונומטריות שעובדות על המשולש הימני. אנו מפרשים את היחסים הללו כיחסים בין הצלעות והזוויות של משולש מסוג זה.

פתרו תרגילים על טנגנס

שאלה 1

תן θ להיות זווית של הרביע השני כך שחטא\(sin\ θ≈0.978\), אז tgθ הוא בערך:

א) -4,688

ב) 4,688

ג) 0.2086

ד) -0.2086

ה) 1

פתרון הבעיה

חלופה א'

אם \(sin\ θ≈0.978\), אם כן, תוך שימוש בזהות הבסיסית של טריגונומטריה:

\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)

\(0.978^2+cos^2 θ=1\)

\(cos^2 θ=1-0.956484\)

\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)

מכיוון ש- θ היא זווית של הרביע השני, אז cosθ הוא שלילי, לכן:

\(cos\ θ≈- 0.2086\)

בקרוב:

\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0.978}{-0.2086}=-4.688\)

שאלה 2

שקול משולש ישר זווית ABC עם רגליים AB = 3 ס"מ ו-AC = 4 ס"מ. הטנגנס של זווית B הוא:

א) \(\frac{3}4\)

ב) \(\frac{3}5\)

W) \(\frac{4}3\)

ד) \(\frac{4}5\)

ו) \(\frac{5}3\)

פתרון הבעיה:

חלופה C

לפי האמירה, הרגל מול הזווית \(\hat{B}\) הוא ה-AC בגודל 4 ס"מ והרגל צמודה לזווית \(\hat{B}\) הוא AB במידה של 3 ס"מ. ככה:

\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה

למד כיצד לבנות את המעגל הטריגונומטרי, בנוסף להבין כיצד פועלת ההפחתה לרביע הראשון וכיצד ללמוד דרכו טריגונומטריה.

הכר את הפונקציות הטריגונומטריות סינוס, קוסינוס וטנגנס. הבן את הגרף של כל אחת מהפונקציות הטריגונומטריות. ראה את המאפיינים של פונקציות אלה.

רדיאן, זווית, מידה, היקף, קשת, קשת היקף, טרנספורמציה של מידה לרדיאן, הגדרה רדיאן, מידת זווית, מידת קשת, אורך היקף ברדיאן, אורך של הֶקֵף.

ראה כיצד לחשב את הערך של סינוס, קוסינוס וטנגנס של זווית ולמד באילו מהיחסים להשתמש במצב בעיה.

למד אילו מחקרים בטריגונומטריה. לדעת מהן הזהויות והתפקודים הטריגונומטריים העיקריים, ולדעת ליישם טריגונומטריה.

דע מהן התכונות המיוחדות של המשולש הישר זווית ולמד לחשב את השטח וההיקף שלו. ראה גם כיצד ניתן ליישם עליו טריגונומטריה.

לחץ ולמד מהן הזוויות הבולטות עבור טריגונומטריה וגלה כיצד למצוא את ערכי הסינוס, הקוסינוס והטנגנס שלהן.