יחס הזהב: מספר זהב, איך לחשב

א פּרוֹפּוֹרצִיָה זָהוּב או פרופורציה אלוהית היא שוויון הקשור לרעיונות של הרמוניה, יופי ושלמות. אוקלידס מאלכסנדריה, מתמטיקאי יווני שחי בסביבות שנת 300 לפני הספירה. ג', היה מההוגים הראשונים שגיבשו את המושג הזה שעד היום מסקרן חוקרים מתחומים שונים.

הסיבה לעניין זה היא שניתן לראות את יחס הזהב באופן משוער בטבע, כולל בזרעים ובעלים של צמחים ובגוף האדם. כתוצאה מכך, יחס הזהב הוא נושא למחקר על ידי אנשי מקצוע שונים, כגון ביולוגים, אדריכלים, אמנים ומעצבים.

קראו גם: מספר פאי - אחד הקבועים החשובים ביותר במתמטיקה

תקציר על יחס הזהב

• יחס הזהב הוא היחס עבור \(a>b>0\) כך ש

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

• בתנאים אלה, הסיבה הב נקרא יחס הזהב.

• יחס הזהב קשור לתפיסות של איזון, טוהר ושלמות.

• האות היוונית ϕ (קרא: fi) מייצגת את מספר הזהב, שהוא הקבוע המתקבל מיחס הזהב.

• ברצף פיבונאצ'י, המנות בין כל מונח לקודמו מתקרבות למספר הזהב.

• מלבן הזהב הוא מלבן שצלעותיו נמצאות ביחס הזהב.

מהו יחס הזהב?

שקול קטע קו המחולק לשני חלקים: הגדול יותר של המידה ה והקטן ביותר ב. תבין את זה א+ב הוא המדד של הקטע כולו.

יחס הזהב הוא שוויון בין הסיבות\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) זה \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), כלומר

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)

בהקשר הזה אנחנו אומרים את זה ה זה ב נמצאים ביחס זהב.

אבל עבור איזה ערכים של ה זה ב האם יש לנו את יחס הזהב? זה מה שנראה בהמשך.

איך מחשבים את מספר הזהב?

הסיבה \(\frac{a}b\)(או, באופן דומה, הסיבה \(\frac{a+b}a\)) מביא לקבוע שנקרא מספר הזהב ומיוצג על ידי האות היוונית ϕ. לפיכך, מקובל לכתוב

\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)

כדי לחשב את מספר הזהב, ניקח בחשבון את יחס הזהב עבור b = 1. לפיכך, אנו יכולים למצוא בקלות את הערך של ה ולקבל ϕ מתוך שוויון \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).

שימו לב שאנו יכולים לכתוב את יחס הזהב באופן הבא, באמצעות תכונת הכפל הצלב:

\(a^2=b⋅(a+b)\)

החלפת b = 1, יש לנו

\(a^2=1⋅(a+1)\)

\(a^2-a-1=0\)

יישום הנוסחה של בהסקרה עבור משוואה ריבועית זו, אנו מסיקים כי הפתרון החיובי של ה é

\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)

כפי ש ה הוא מדד לקטע, נתעלם מהפתרון השלילי.

אז איך \(\frac{a}b=ϕ\), הערך המדויק של מספר הזהב הוא:

\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)

חישוב המנה, אנו מקבלים הערך המשוער של מספר הזהב:

\(ϕ≈1,618033989\)

ראה גם: איך לפתור פעולות מתמטיות עם שברים?

יחס הזהב ורצף פיבונאצ'י

א רצף פיבונאצ'י הוא רשימה של מספרים כאשר כל איבר, החל מהשלישי, שווה לסכום שני הקודמים. הבה נסתכל על עשרת האיברים הראשונים של הרצף הזה:

\(a_1=1\)

\(a_2=1\)

\(a_3=1+1=2\)

\(a_4=1+2=3\)

\(a_5=2+3=5\)

\(a_6=3+5=8\)

\(a_7=5+8=13\)

\(a_8=8+13=21\)

\(a_9=13+21=34\)

\(a_{10}=21+34=55\)

כפי שאנו מחשבים את המנה בין כל מונח לקודמו ברצף פיבונאצ'י, אנחנו מתקרבים למספר הזהב ϕ:

\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)

\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)

\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)

\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666...\)

\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)

\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)

\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)

\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904...\)

\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)

יחס הזהב ומלבן הזהב

אחד מַלבֵּן שבו הצד הארוך ביותר ה והצד הקטן יותר ב נמצאים ביחס זהב זה נקרא מלבן הזהב. דוגמה למלבן זהב הוא מלבן שצלעותיו 1 ס"מ ו \(\frac{1+\sqrt5}2\) ס"מ.

יודע יותר: מהן כמויות פרופורציונליות ישירות?

יישומים של יחס הזהב

שימו לב שעד עכשיו, למדנו את יחס הזהב רק בהקשרים מתמטיים מופשטים. לאחר מכן, נראה כמה דוגמאות יישומיות, אך יש צורך בזהירות: יחס הזהב אינו מוצג בדיוק באף אחד מהמקרים הללו. מה שקיים הם ניתוחים של הקשרים שונים שבהם מספר הזהב מופיע כךלְהִתְקַרֵב.

• יחס הזהב באדריכלות

כמה מחקרים טוענים שהערכות של מספר הזהב נצפות ביחסים מסוימים של ממדי פירמידת צ'אופס, במצרים, ובניין מטה האו"ם, בניו יורק.

 בניין האו"ם בניו יורק. הוא האמין כי מספר הזהב הוחל על מידותיו.

• יחס הזהב בגוף האדם

מידות גוף האדם משתנות מאדם אחד לאחר, ואין סוג גוף מושלם. עם זאת, לפחות מאז יוון העתיקה, היו ויכוחים על גוף אידיאלי מבחינה מתמטית (ובלתי ניתן להשגה לחלוטין במציאות), עם מדידות הקשורות ליחס הזהב. בהקשר תיאורטי זה, למשל, היחס בין גובהו של אדם למרחק בין הטבור שלו לאדמה יהיה מספר הזהב.

• יחס הזהב באמנות

יש מחקר על היצירות "האיש הוויטרובי" ו"מונה ליזה", מאת לאונרדו דה וינצ'י האיטלקי, המציעים את שימוש במלבני זהב.

המונה ליזה, מאת לאונרדו דה וינצ'י.

• יחס הזהב בטבע

ישנם מחקרים המצביעים על א הקשר בין יחס הזהב לדרך בה מופצים עלים של צמחים מסוימים על גזע. סידור זה של עלים נקרא פילוטקסיה.

דוגמאות שונות לסידורי גיליונות.

• יחס הזהב בעיצוב

יחס הזהב נלמד ומשמש גם בתחום העיצוב כ כלי הרכבת פרויקט.

פרופורציה מוזהבת שהוחלה על עיצוב בהרכב הדמויות.

פתרו תרגילים על יחס הזהב

שאלה 1

(אנם) קטע קו מתחלק לשני חלקים ביחס הזהב כאשר השלם הוא לאחד החלקים באותו יחס שחלק זה הוא לשני. קבוע מידתיות זה מיוצג בדרך כלל על ידי האות היוונית ϕ, וערכו ניתן על ידי הפתרון החיובי של המשוואה ϕ2 = ϕ+1.

בדיוק כמו הכוח \(ϕ^2\), ניתן לבטא את הכוחות הגבוהים של ϕ בצורה \(aϕ+b\), כאשר a ו-b הם מספרים שלמים חיוביים, כפי שמוצג בטבלה.

העוצמה \(ϕ^7\), כתוב בצורה aϕ+b (a ו-b הם מספרים שלמים חיוביים), הוא

א) 5ϕ+3

ב) 7ϕ+2

ג) 9ϕ+6

ד) 11ϕ+7

ה) 13ϕ+8

פתרון הבעיה

כפי ש \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), אנחנו חייבים

\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)

יישום ההפצה,

\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)

כפי ש \(ϕ^2=ϕ+1\),

\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)

\(ϕ^7=13ϕ+8\)

אלטרנטיבה E.

שאלה 2

דרג כל משפט למטה לגבי מספר הזהב כ-T (נכון) או F (שקר).

אני. מספר הזהב ϕ הוא לא רציונלי.

II. המנות בין כל מונח לקודמו ברצף פיבונאצ'י מתקרבים לערך של ϕ.

III. 1.618 הוא עיגול לשלושה מקומות עשרוניים של המספר הזהוב ϕ.

הרצף הנכון, מלמעלה למטה, הוא

א) V-V-V

ב) ו-ו-ו

ג) V-F-V

ד) פ-ו-ו

ה) פ-ו-ו

פתרון הבעיה

אני. נָכוֹן.

II. נָכוֹן.

III. נָכוֹן.

חלופה א'.

מקורות

FRANCISCO, S.V. מ-L. בין הקסם למציאות של יחס הזהב. עבודת גמר (תואר שני מקצועי במתמטיקה ברשת הלאומית) – המכון למדעי הביו, מכתבים ומדעים מדויקים, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. סאו פאולו, 2017. אפשר להשיג ב: http://hdl.handle.net/11449/148903.

מכירות, J. מ-S. יחס הזהב הקיים בטבע. השלמת עבודת הקורס (תואר במתמטיקה), המכון הפדרלי לחינוך, מדע וטכנולוגיה של Piauí. פיאואי, 2022. אפשר להשיג ב http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/handle/123456789/1551.

מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה

מָקוֹר: בית ספר ברזיל - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm