חוֹצֶה וה קו מאונך לקטע שחותך את נקודת האמצע שלו. אנו יכולים לבנות את החציקטור הניצב של קטע באמצעות סרגל ומצפן. על משולש, חצויים הם קווים מאונכים לצדדים המכילים את נקודות האמצע שלהם. לפיכך, למשולש יש שלושה חצויים מאונכים. הנקודה בה נפגשים חצויים אלו נקראת מרכז ההיקפי ומהווה את מרכז המעגל המוקף למשולש.
קראו גם: מרחק בין שתי נקודות - הנתיב הקצר ביותר בין שתי נקודות במישור הקרטזיאני
תקציר לגבי חוצה מאונך
Bisector הוא ה יָשָׁר מאונך לקטע העובר דרך נקודת האמצע.
הנקודות של חוצה מאונך נמצאות במרחק שווה מנקודות הקצה של הקטע.
ניתן לבנות את החציקטור הניצב עם סרגל ומצפן.
ניתן לקבוע את המשוואה של חוצה מאונך על סמך הקואורדינטות של נקודות הקצה של המקטע.
למשולש יש שלושה חצויים מאונכים, אחד ביחס לכל צד.
נקודת החיתוך של חצויים של משולש נקראת מרכז ההיקף. נקודה זו היא מרכז המעגל המוקף של המשולש.
חציו של משולש שונה מהחציון, החציו וגובהו של משולש.
מה זה מדיהטריקס?
בהינתן קטע, חוצה הניצב הוא הישר המאונך ל- מִגזָר שיירט את שלך נקודת אמצע.
תוצאה חשובה של הגדרה זו היא ש כל הנקודות על חוצה מאונך נמצאות באותו מרחק מנקודות הקצה של הקטע
. בסימבולוגיה מתמטית, אם AB הוא קטע והנקודה P שייכת לחציו, אז PA = PB.
איך בונים את החציקטור?
כדי לבנות את חציו הניצב של קטע, אנחנו צריכים רק סרגל ומצפן. השלבים לבנייה הם כדלקמן:
שלב 1: בהינתן קטע AB, פתח את המצפן באורך העולה על מחצית הקטע. רמז: אפשרות אחת היא להשתמש באורך הקטע עצמו.
שלב 2: לצייר אחד הֶקֵף עם מרכז בקצה אחד של הקטע ורדיוס עם המידה שנבחרה בשלב 1.
שלב 3: חזור על שלב 2 עבור הקצה השני של הקטע.
שלב 4: חבר את נקודות החיתוך של המעגלים עם הסרגל.
איך מוצאים את משוואת החצייה?
מכיוון שהחציו הניצב הוא קו ישר, נוכל לקבוע א משוואה שמתאר את הנקודות שלך, הוויה ר הקו שמכיל קטע א.ב נמסר, ס ה-bisector של קטע זה ו פ (x, y) כל נקודה על החציקטור הניצב.
בהנחה שהקואורדינטות של הנקודות א זה ב ידועים, נוכל לקבל את מקדם הזוויתי נ של הישר ר. כפי ש ר זה ס הם מאונכים, השיפוע M של הישר ס ניתן למצוא גם את (החציו הניצב), שכן הוא ההפך מהיפוך הכפל של נ. שימוש בביטוי עבור המשוואה הבסיסית של הקו, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), על מה \(M(x\_0,y\_0)\) הוא נקודת האמצע של א.ב, השלמנו את משוואת הביסקטור.
דוגמא:
קבע את משוואת החצייה של הקטע שנקבע על ידי הנקודות A(1,2) ו-B(3,6).
פתרון הבעיה:
ראשית, בואו נבין את המדרון נ של הישר ר שמכיל את הקטע א.ב:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
כעת אנו מחפשים את נקודת האמצע M של הקטע א.ב:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
זכור כי חוצה מאונך ס רצוי מאונך לקו ר (שמכיל את הקטע א.ב). לאחר מכן, מקדם הזוויתי M של הישר ס ומקדם הזוויתי נ של הישר ר קשורים באופן הבא:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
לָכֵן, \( m_s=\frac{-1}2\).
לבסוף, אנו משתמשים במשוואת היסוד של הישר כדי לקבוע את חוצה s, ישר שיש לו שיפוע שווה ל \(-\frac{1}2\) ועובר דרך הנקודה (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
חוצה של משולש
שלוש הצלעות של משולש הן קטעי קו. לפיכך, המונח "חצויה של משולש" מתייחס לחציו של אחת מהצלעות של דמות גיאומטרית זו. לָכֵן, המשולשבעל שלושה חצויים. ראה למטה:
הנקודה שבה חצויים של משולש נפגשים נקראת מרכז היקפי., שכן זהו מרכז המעגל המוקף למשולש (כלומר המעגל העובר בשלושת קודקודי המשולש).
חָשׁוּב:מכיוון שהמרכז ההיקפי הוא נקודה משותפת לשלושת חצוי הניצבים, המרחק שלה מכל אחד מהקודקודים זהה. בסמליות מתמטית, אם ד הוא מרכז היקפו של המשולש א ב ג, לאחר מכן \(AD=BD=CD\).
הבדלים בין חוצה, חציון, חוצה וגובה של משולש
חוצה, חציון, חוצה וגובה של משולש הם מושגים שונים. בואו נסתכל על כל אחד בנפרד ולאחר מכן ביחד.
חוצה של משולש: הוא הקו הניצב לאחת הצלעות החותך את נקודת האמצע שלו.
חציון של משולש: הוא הקטע עם נקודות הקצה בקודקוד המשולש ובאמצע הצלע שממול לקודקוד.
חוצה של משולש: הוא הקטע שמתחלק לחצי אחד מה- זוויות צלעות המשולש, עם נקודות קצה באחד הקודקודים ובצד הנגדי.
גובה משולש: הוא הקטע המאונך לאחת הצלעות עם קצהו בזווית הנגדית לצלע.
בתמונה הבאה, נדגיש, ביחס לקטע BC של המשולש, את הגובה (קו קו מנוקד בכתום), החציון (קו מקווקו בסגול), החציון (קו מנוקד בירוק) והחציו הניצב (קו מוצק ב אָדוֹם).
חָשׁוּב: על משולש שווה צלעות, כלומר, ששלוש הצלעות ושלוש הזוויות שוות, חצויים, החציונים, חצויים והגבהים חופפים. כתוצאה מכך, ה נקודות בולטות של משולש (circumcenter, barycenter, incenter ו-ortocenter) גם הם חופפים. בתמונה למטה, אנו מדגישים, ביחס לקטע BC, את החציון, החציון, החציו והגובה בקו שחור מתמשך. הנקודה המודגשת E היא אפוא המרכז ההיקפי, מרכז הברי, המרכז והאורתוסנטר של המשולש ABC.
ראה גם: יחסים מטריים במשולש שווה צלעות הכתובה - מה הם?
פתרו תרגילים על חוצה
שאלה 1
שקול את ההצהרות שלהלן.
אני. חציו של משולש הוא הקטע שמתחיל בקודקוד וחוצה את נקודת האמצע של הצלע הנגדית.
II. הנקודה שבה חצויים של משולש נפגשים נקראת מרכז היקפי. נקודה זו היא מרכז המעגל המוקף למשולש ובמרחק שווה מהקודקודים.
III. חציו של קטע הוא הקו הניצב החותך את הקטע בנקודת האמצע.
איזו חלופה מכילה את החלופה הנכונה?
א) אני, בלבד.
ב) ב', בלבד.
ג) ג' בלבד.
ד) I ו-II.
ה) ב' ו-ג'.
פתרון הבעיה:
חלופה E
משפט I הוא השגוי היחיד, שכן הוא מתאר את החציון של משולש.
שאלה 2
(אנם — מותאם) הטלוויזיה עברה בשנים האחרונות מהפכה של ממש מבחינת איכות התמונה, הסאונד והאינטראקטיביות עם הצופה. טרנספורמציה זו נובעת מהמרת האות האנלוגי לאות הדיגיטלי. עם זאת, בערים רבות עדיין אין את הטכנולוגיה החדשה הזו. מתוך רצון להביא את ההטבות הללו לשלוש ערים, מתכוונת תחנת טלוויזיה להקים מגדל שידור חדש שישלח אות לאנטנות A, B ו-C, הקיימות כבר בערים אלו. מיקומי האנטנה מיוצגים במישור הקרטזיאני:
המגדל חייב להיות ממוקם במרחק שווה משלוש האנטנות. המקום המתאים לבניית המגדל הזה מתאים לנקודת הקואורדינטות
א) (65, 35).
ב) (53, 30).
ג) (45, 35).
ד) (50, 20).
ה) (50, 30).
פתרון הבעיה:
חלופה E
שים לב שהמיקום של המגדל חייב להיות מרכז היקפי של המשולש שנוצר על ידי נקודות A, B ו-C, מכיוון שזהו המיקום השווה של שלוש האנטנות.
הקואורדינטות למגדל T הן\((x_t, y_t )\). מכיוון ש-T שייך לחציו של AB (ניתן על ידי הישר x = 50), המיקום האופקי של המגדל חייב להיות \(x_t=50\).
כדי לקבוע את הקואורדינטה האופקית \(y_t\) של המגדל, נוכל להשתמש בביטוי למרחק בין שתי נקודות פעמיים. מכיוון שהמגדל נמצא במרחק שווה, למשל, מקודקודים A ו-C (AT = CT), יש לנו:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
לפשט, אנחנו מבינים \(y_t=30\).
מאת מריה לואיזה אלבס ריזו
מורה למתמטיקה