ה משוואת מדרגה 1 היא משוואה שיש לה לא ידוע מדרגה 1. משוואות הן משפטים מתמטיים שיש להם לא ידועים, שהם אותיות שמייצגות ערכים לא ידועים, ושוויון. המשפט המתמטי של משוואת מדרגה 1 הוא הx + ב = 0, איפה ה ו ב הם מספרים ממשיים, ו ה שונה מ-0. מטרת כתיבת משוואת מדרגה 1 היא למצוא מהו הערך של הלא נודע שעונה על המשוואה. ערך זה ידוע כפתרון או שורש המשוואה.
קראו גם: משוואה מעריכית - המשוואה שיש בה לפחות אחד לא ידוע באחד המעריכים שלה
נושאים במאמר זה
- 1 - סיכום משוואת מדרגה 1
- 2 - מהי משוואת מדרגה 1?
-
3 - איך מחשבים את משוואת התואר הראשון?
- → משוואה מדרגה ראשונה עם לא ידוע
- ? משוואת מדרגה ראשונה עם שני לא ידועים
- 4 - משוואת תואר ראשון באנם
- 5 - פתרו תרגילים על משוואת מדרגה 1
סיכום משוואת מדרגה 1
משוואת המעלה הראשונה היא משפט מתמטי שיש בו מעלה אחת לא ידועים.
למשוואת מדרגה 1 עם אחד לא ידוע יש פתרון ייחודי.
המשפט המתמטי שמתאר את משוואת המעלה הראשונה עם אחד לא ידוע הוא הx + ב = 0.
כדי לפתור משוואה מדרגה 1 עם לא ידוע, אנו מבצעים פעולות משני צידי השוויון, על מנת לבודד את הלא נודע ולמצוא את ערכו.
למשוואת המעלה הראשונה עם שני לא ידועים יש אינסוף פתרונות.
המשפט המתמטי שמתאר את משוואת המעלה הראשונה עם שני אלמונים הוא הx + בy + c = 0
משוואת מדרגה 1 היא מונח חוזר ב"אנם", שבדרך כלל מגיע עם שאלות הדורשות פרשנות של הטקסט והרכבת המשוואה לפני פתרונה.
מהי משוואת תואר ראשון?
משוואה היא משפט מתמטי שיש לו שוויון ואחד או יותר לא ידועים.. הלא ידועים הם ערכים לא ידועים, ואנו משתמשים באותיות, כגון x, y, z, כדי לייצג אותם.
מה שקובע את מידת המשוואה הוא המעריך של הלא נודע. לכן, כאשר המעריך של הלא נודע הוא בעל מדרגה 1, יש לנו משוואה של המעלה הראשונה. ראה דוגמאות למטה:
2x + 5 = 9 (משוואת מדרגה ראשונה עם אחד לא ידוע, x)
y – 3 = 0 (משוואת מדרגה ראשונה עם אחד לא ידוע, y)
5x + 3y – 3 = 0 (משוואת מדרגה ראשונה עם שני לא ידועים, x ו-y)
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי המודעה ;)
איך מחשבים את משוואת התואר הראשון?
אנו מייצגים מצב נתון כמשוואה כאשר אנו שואפים לכך מצא את הערכים שהלא נודע יכול לקחת שגורמים למשוואה להתקיים, כלומר, למצוא את הפתרונות או את הפתרון של המשוואה. נראה להלן כיצד למצוא את הפתרון של משוואה מדרגה 1 עם אחד לא ידוע ואת הפתרונות של משוואה מדרגה 1 עם שני לא ידועים.
→ משוואה מדרגה ראשונה עם אחד לא ידוע
ה משוואה מדרגה ראשונה עם אחד לא ידוע היא המשוואה של הסוג:
\(ax+b=0\ \)
במשפט הזה, ה ו ב הם מספרים ממשיים. אנו משתמשים בסמל השוויון כהתייחסות. לפניו יש לנו את האיבר הראשון של המשוואה ואחרי סימן השוויון יש לנו את האיבר השני במשוואה.
כדי למצוא את הפתרון למשוואה זו, אנו מבקשים לבודד את המשתנה x. בואו נחסר ב משני צידי המשוואה:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
עכשיו נחלק לפי ה בשני הצדדים:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
חָשׁוּב:תהליך זה של ביצוע פעולה משני הצדדים של המשוואה מתואר לעתים קרובות כ"מעבר לצד השני" או "מעבר לצד השני בביצוע הפעולה ההפוכה".
דוגמה 1:
מצא את הפתרון למשוואה:
2x - 6 = 0
פתרון הבעיה:
כדי לבודד את המשתנה x, נוסיף 6 לשני הצדדים של המשוואה:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
כעת, נחלק ב-2 משני הצדדים:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
אנו מוצאים כפתרון למשוואה x = 3. זה אומר שאם נחליף 3 במקום x, המשוואה תהיה נכונה:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
דוגמה 2:
נוכל לפתור את המשוואה בצורה ישירה יותר באמצעות השיטה המעשית:
\(5x+1=-\ 9\)
ראשית, הבה נגדיר מהו האיבר הראשון במשוואה ומהו האיבר השני במשוואה:
כדי למצוא את הפתרון של המשוואה, נבודד את הלא נודע על האיבר הראשון של המשוואה. לשם כך, מה שלא ידוע יועבר לאיבר השני שיבצע את הפעולה ההפוכה, החל ב-+1. תוך כדי חיבור, הוא יעבור לאיבר השני על ידי חיסור:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
אנחנו רוצים את הערך של x, אבל אנחנו מוצאים את הערך של 5x. מכיוון ש-5 מכפיל את x, הוא יעבור לצד ימין על ידי ביצוע הפעולה ההפוכה של כֶּפֶל, כלומר חלוקה.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
הפתרון למשוואה זו הוא x = -2.
דוגמה 3:
פתור את המשוואה:
\(5x+4=2x-6\)
כדי לפתור את המשוואה הזו, נניח בתחילה את האיברים שיש להם לא ידוע באיבר הראשון, ואת האיברים שאין להם לא ידוע באיבר השני. לשם כך, בואו נזהה אותם:
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
באדום מופיעים המונחים שיש להם לא ידוע, 5x ו-2x, ובשחור, המונחים שאין להם לא ידוע. מכיוון של-+4 אין אלמוני, בואו נעביר אותו לאיבר השני על ידי חיסור.
\(\color{red}{5x}=\color{red}{2x}-6-4\)
שימו לב של-2x יש לא ידוע, אבל הוא נמצא באיבר השני. נעביר אותו לאיבר הראשון, נחסר פי 5:
\({\color{red}{5x}-\color{red}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
עכשיו, עוברים את חלוקת ה-3, יש לנו את זה:
\(x=-\frac{10}{3}\)
חָשׁוּב: הפתרון למשוואה יכול להיות שבר, כמו בדוגמה למעלה.
◆ שיעור וידאו על משוואה מדרגה 1 עם לא ידוע
➝ משוואת מדרגה ראשונה עם שני לא ידועים
כאשר יש משוואה מדרגה 1 שיש לה שני לא ידועים, אין פתרון אחד, אלא פתרונות אינסופיים. משוואה מדרגה 1 עם שני לא ידועים היא משוואה מהסוג:
\(ax+by+c=0\)
כדי למצוא כמה מהפתרונות האינסופיים של המשוואה, אנו מקצים ערך לאחד המשתנים שלו ומוצאים את הערך של המשתנה השני.
דוגמא:
מצא 3 פתרונות אפשריים למשוואה:
\(2x+y+3=0\)
פתרון הבעיה:
כדי למצוא 3 פתרונות, נבחר כמה ערכים עבור המשתנה x, החל מ-x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
מבודדים את y באיבר הראשון, יש לנו את זה:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
אז פתרון אפשרי למשוואה הוא x = 1 ו- y = - 5.
כדי למצוא עוד פתרון אחד של המשוואה, בואו נקצה ערך חדש לכל אחד מהמשתנים. נעשה y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
בידוד x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
הפתרון השני של המשוואה הזו הוא x = - 2 ו- y = 1.
לבסוף, כדי למצוא פתרון שלישי, נבחר ערך חדש עבור אחד המשתנים שלך. נעשה x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
הפתרון השלישי הוא x = 0 ו- y = -3.
אנו יכולים לייצג את שלושת הפתרונות הללו כזוגות מסודרים, מהצורה (x, y). הפתרונות שנמצאו למשוואה היו:
\(\left (1,-5\right);\ \left(-2,\ 1\right);\left (0,-3\right)\)
חָשׁוּב: מכיוון שלמשוואה זו יש שני לא ידועים, יש לנו אינסוף פתרונות. הערכים של המשתנים נבחרו באקראי, כך שנוכל להקצות למשתנים ערכים אחרים לגמרי ולמצוא שלושה פתרונות אחרים למשוואה.
יודע יותר: משוואת מדרגה 2 - איך לחשב?
משוואת תואר ראשון באנם
שאלות הכוללות משוואות מדרגה 1 ב-Enem דורשות מהמועמד להיות מסוגל להפוך מצבי בעיה למשוואה, תוך שימוש בנתוני אמירה. לבירור, ראה מיומנות במתמטיקה תחום 5.
מיומנות אזור 5: מודל ופתור בעיות הכרוכות במשתנים סוציו-אקונומיים או טכניים-מדעיים, תוך שימוש בייצוגים אלגבריים.
שימו לב אז ב-Enem מצופה שהמועמד יוכל לדגמן מצבים בעייתיים של חיי היומיום שלנו ולפתור אותם באמצעות משוואה. במסגרת יכולת זו, קיימות שתי מיומנויות ספציפיות הכוללות משוואות שאנם מבקש להעריך: מיומנות 19 ומיומנות 21.
H19: זיהוי ייצוגים אלגבריים המבטאים את הקשר בין כמויות.
H21: לפתור מצב בעיה שהמודל שלה כרוך בידע אלגברי.
לכן, אם אתה לומד עבור האנם, בנוסף לשליטה ברזולוציה של משוואות תואר ראשון, חשוב להתאמן בפירוש של בעיות הכרוכות משוואות, מכיוון שפיתוח היכולת ליצור מודל של מצבי בעיה על ידי כתיבתם כמשוואה, עבור האנם, חשובה לא פחות מהיכולת לפתור את משוואה.
פתרו תרגילים על משוואת מדרגה 1
שאלה 1
(אנם 2012) עקומות ההיצע והביקוש של מוצר מייצגות, בהתאמה, את הכמויות שמוכרים וצרכנים מוכנים למכור בהתאם למחיר המוצר. במקרים מסוימים, עקומות אלה יכולות להיות מיוצגות על ידי קווים ישרים. נניח שכמויות ההיצע והביקוש למוצר מיוצגות, בהתאמה, על ידי המשוואות:
שO = –20 + 4P
שד = 46 - 2P
שבו שO היא כמות האספקה, שד הוא הכמות המבוקשת ו-P הוא מחיר המוצר.
מתוך משוואות ההיצע והביקוש הללו, כלכלנים מוצאים את מחיר שיווי המשקל בשוק, כלומר כאשר QO ו-Qד שווה. עבור המצב המתואר, מה ערכו של מחיר שיווי המשקל?
א) 5
ב) 11
ג) 13
ד) 23
ה) 33
פתרון הבעיה:
חלופה ב'
כדי למצוא את מחיר שיווי המשקל, אנו פשוט משווים את שתי המשוואות:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
שאלה 2
(Enem 2010) הקפיצה המשולשת היא שיטת אתלטיקה שבה האתלט קופץ על רגל אחת, צעד אחד וקפיצה אחת, בסדר הזה. הקפיצה בהמראה על רגל אחת תתבצע כך שהספורטאי ינחת ראשון על אותה רגל שנתנה את ההמראה; בצעד הוא ינחת עם הרגל השנייה, ממנה מתבצעת הקפיצה.
זמין בכתובת: www.cbat.org.br (מותאם).
ספורטאי בשיטת הקפיצה המשולשת, לאחר שלמד את תנועותיו, הבין כי מהשנייה ל- קפיצה ראשונה, הטווח ירד ב-1.2 מ', ומהקפיצה השלישית לשניה הטווח ירד ב-1.5 M. רוצים להגיע ליעד של 17.4 מ' באירוע זה ובהתחשב בלימודים, המרחק אליו מגיעים בקפיצה הראשונה צריך להיות בין
א) 4.0 מ' ו-5.0 מ'.
ב) 5.0 מ' ו-6.0 מ'.
ג) 6.0 מ' ו-7.0 מ'.
ד) 7.0 מ' ו-8.0 מ'.
ה) 8.0 מ' ו-9.0 מ'.
פתרון הבעיה:
חלופה D
בקפיצה הראשונה הוא מגיע למרחק של x מטרים.
בקפיצה השנייה המרחק יורד ב-1.2 מ' מהקפיצה הראשונה, כך שהוא מגיע למרחק של x – 1.2 מטר.
בקפיצה השלישית המרחק יורד ב-1.5 מ' מהקפיצה השנייה, כך שהמרחק שנעבור בקפיצה השלישית הוא x – 1.2 – 1.5 מטר, שזהה ל-x – 2.7 מטר.
אנו יודעים שסכום המרחקים הללו חייב להיות 17.4 מטר, אז:
\(x+x-1.2+x-2.7=17.4\)
\(3x-3.9=17.4\)
\(3x=17.4+3.9\)
\(3x=21.3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7.1\)
לפיכך, המרחק אליו מגיעים בקפיצה הראשונה הוא בין 7.0 ל-8.0 מטר.
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
