ה משפט הביסקטור הפנימי פותח במיוחד עבור משולשים ומראה שכאשר אנו מתחקים אחר החציקטור הפנימי של זווית של המשולש, נקודת המפגש של החציקטור עם הצלע שממול מחלקת את הצלע ל מקטעי קו פרופורציונלי לצדדים הסמוכים של זווית זו. עם יישום משפט הביסקטור הפנימי ניתן לקבוע את ערך הצלע או קטעי המשולש באמצעות הפרופורציה ביניהם.
ראה גם: חציון, חוצה זווית וגובה משולש - מה ההבדל?
תקציר על משפט הביסקטור הפנימי:
החציון הוא א קֶרֶן שמחלק את הזווית לשתי זוויות חופפות.
משפט הביסקטור הפנימי הוא ספציפי למשולשים.
משפט זה מוכיח שהחציו מחלק את הצלע הנגדי ל קטעים פרופורציונליים לצדדים הסמוכים ל זָוִית.
שיעור וידאו על משפט הביסקטור הפנימי
אל תפסיק עכשיו... יש עוד אחרי המודעה ;)
מהו משפט הביסקטור?
לפני שנבין מה אומר משפט החצייה הפנימית, חשוב לדעת מה כן חוצה של זווית. זוהי קרן המחלקת את הזווית לשני חלקים חופפים., כלומר שני חלקים בעלי אותה מידה.
כשאנחנו מבינים מהו חוט הקצה, נבחין שהוא קיים בזווית הפנימית של משולש. כאשר אנו מתווים את חוצה של זווית של המשולש, הוא יחלק את הצלע הנגדית לשני קטעים. לגבי החצייה הפנימית, המשפט שלו אומר ששני הקטעים המחולקים בו הם פרופורציונליים לצלעות הסמוכות של הזווית.
שימו לב שהחציו מחלק את הצלע AC לשני מקטעים, AD ו-DC. משפט הביסקטור מראה זאת:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
יודע יותר: משפט פיתגורס - משפט נוסף שפותח עבור משולשים
הוכחה למשפט הביסקטור הפנימי
במשולש ABC למטה, נתחם את הקטע BD, שהוא חוצה של משולש זה. יתר על כן, נעקוב אחר ההארכה של הצד שלו CB ושל הקטע AE, במקביל ל-BD:
זווית AEB תואמת לזווית DBC, כי CE הוא א יָשָׁר רוחבי למקטעים המקבילים AE ו-BD.
יישום ה משפט תאלס, הגענו למסקנה ש:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
עכשיו אנחנו נותר להראות ש-BE = AB.
מכיוון ש-x הוא המידה של הזווית ABD ו-DBC, בניתוח הזווית ABE, נקבל:
ABE = 180 - 2x
אם y היא המדד של הזווית EAB, יש לנו את המצב הבא:
אנחנו יודעים שה סכום הזוויות הפנימיות של המשולש ABE הוא 180°, אז אנחנו יכולים לחשב:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
אם לזווית x ולזווית y יש אותה מידה, משולש ABE הוא שְׁוֵה שׁוֹקַיִם. לכן, הצלע AB = AE.
מכיוון שסכום הזוויות הפנימיות של משולש שווה תמיד ל-180°, במשולש ACE יש לנו:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
מכיוון ש-y = x, משולש ACE הוא שווה שוקיים. לכן, המקטעים AE ו-AC הם חופפים. החלפת AE עבור AC in סיבה, הוכח כי:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
דוגמא:
מצא את הערך של x במשולש הבא:
בניתוח המשולש נקבל את היחס הבא:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
הכפל צולב:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
קראו גם: נקודות בולטות של משולש - מהן?
פתרו תרגילים על משפט הביסקטור הפנימי
שאלה 1
בהסתכלות על המשולש למטה, אנו יכולים לומר שהערך של x הוא:
א) 9
ב) 10
ג) 11
ד) 12
ה) 13
פתרון הבעיה:
חלופה D
בהחלת משפט החציון הפנימי, נקבל את החישוב הבא:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
הכפל צולב:
\(27x=18\ \left (30-x\right)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
שאלה 2
נתחו את המשולש הבא, בידיעה שהמידות שלכם ניתנו בסנטימטרים.
היקף משולש ABC שווה ל:
א) 75 ס"מ
ב) 56 ס"מ
ג) 48 ס"מ
ד) 24 ס"מ
ה) 7.5 ס"מ
פתרון הבעיה:
חלופה C
ביישום משפט החציון, נמצא תחילה את הערך של x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \left (4x-9\right)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
לפיכך, הצדדים הלא ידועים מודדים:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
לזכור כי ה מד אורך בשימוש היה הס"מ, ה היקף של המשולש הזה שווה ל:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 ס"מ
מאת ראול רודריגס דה אוליביירה
מורה למתמטיקה
האם תרצה להתייחס לטקסט זה בעבודה בית ספרית או אקדמית? תראה:
OLIVEIRA, ראול רודריגס דה. "משפט הביסקטור הפנימי"; בית ספר ברזיל. אפשר להשיג ב: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. ניגש ב-4 באפריל, 2022.
