גיאומטריית מישור: מושגים, דמויות, נוסחאות

ה גיאומטריית מישור הוא נוכח בכל עת בחיי היומיום שלנו. כאשר אנו מסתכלים על העולם הסובב אותנו, ניתן להבחין בצורות גיאומטריות שונות. כאשר לצורות גיאומטריות יש שני ממדים, הן מושא המחקר של גיאומטריית מישור..

הנקודה, הישר והמישור הם יסודות פרימיטיביים הנלמדים בגיאומטריית מישור, בנוסף למושגים של זוויות וחקר של דמויות שטוחות, כגון הריבוע, המשולש, המלבן, הטרפז, המעגל והמעוין. בנוסף לגיאומטריה המישורית, יש גם גיאומטריה מרחבית, אזור נוסף של מתמטיקה, החוקר דמויות גיאומטריות תלת מימדיות. חקר גיאומטריית מישור חיוני כדי להבין את המרחב בו אנו חיים.

יודע יותר: גיאומטריה אנליטית - תחום החוקר גיאומטריה באמצעות כלים אלגבריים

סיכום של גיאומטריית מישור

• גיאומטריית מישור היא תחום המתמטיקה החוקר דמויות מישוריות.

• נקודה, קו ומישור הם המושגים הפרימיטיביים של גיאומטריה זו.

• ישנם מושגים חשובים שהם הבסיס של גיאומטריית מישור ואשר מפותחים מהמושגים הפרימיטיביים.

  • קֶרֶן: הוא החלק של הישר התחום בנקודה.

  • קטע קו: החלק של קו התחום בשתי נקודות.

  • זווית: היא האזור בין שתי קרניים.

  • מצולעים: הן דמויות מישוריות המוקפות בקרניים.

  • שטח: הוא מדידת פני השטח של דמות מישורית.

• דמויות מישור רבות נלמדות בגיאומטריית מישור, כגון משולש, מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע, טרפז, היקף ומעגל.

• ישנן נוסחאות חשובות לחישוב המדידות של כל אחת מדמויות המישור, כגון היקף, שהוא סכום קו המתאר של הדמות, וחישוב השטח:

שיעור וידאו על גיאומטריית מישור

מושגים חשובים של גיאומטריית מישור

בחקר גיאומטריית מישור, פותחו מושגים חשובים, החל מהמושגים הפרימיטיביים, שהם אלה של נקודה, קו ומישור. עצמים אלו ידועים כפרימיטיביים מכיוון שהם מהווים בסיס לפיתוח מושגים אחרים, כגון זווית, קרן, קטע קו, מצולע, שטח וכו'. בואו נסתכל על כל אחד מהם.

• נקודה, קו ומישור

הנקודה, הקו והמישור הם יסודות פרימיטיביים במתמטיקה, כלומר, אין להם הגדרה, אלא הם אובייקטים שנמצאים בדמיוננו, מובנים באופן אינטואיטיבי, וחיוניים לבניית המושגים של גיאומטריית מישור.

ה נקודה היא העצם הפשוט ביותר בגיאומטריה. אין לו מימד, כלומר הוא חסר מימד, ועוזר לנו למצוא מיקומים במישור בצורה מדויקת. השימוש בו נפוץ לייצוג מיקום GPS באפליקציות, למשל.

ה קו, בתורו, נוצר על ידי קבוצה של נקודות מיושרות. במישור יש נקודות שנמצאות על הקו ומחוץ לקו. יש לו רק מימד אחד, עם רוחב ועומק זניחים. הקווים הם אינסופיים ויכולים להיות ייצוג של מסלול במישור.

ה מישור הוא משטח שאין לו עיקולים, כלומר, זהו אזור דו מימדי. המישור הוא אינסופי לשני הממדים, ובו נוכל להכניס קווים אינסופיים. כאשר אנו מדמיינים קו, אנו יודעים שהוא כלול במשטח מסוים, שהוא המישור.

לייצג ולמנות את האלמנטים הפרימיטיביים הללו, אנו משתמשים בסימונים הבאים:

• הנקודה מיוצגת באות גדולה באלפבית שלנו, כגון A, B, C.

• הקו מיוצג על ידי אות קטנה באלפבית, כגון r, s, t.

• המישור מיוצג על ידי אות יוונית של האלפבית, כגון α, β.

נקודה, קו ומישור: מושגים פרימיטיביים של גיאומטריית מישור.

• קטע קרן וקו

על סמך מושגי יסוד אלו, ניתן להבין מושגים חשובים כמו קרן וקטע קו. קרן היא החלק של קו ישר שיש לו התחלה אך אין לו סוף..כדי לייצג קרן, אנו משתמשים בשתי נקודות - הראשונה היא נקודת ההתחלה של הקרן והשנייה היא כל נקודה השייכת לה. עם חץ אינדיקציה מעל שתי האותיות המייצגות נקודות, מוצג שקרן מתחילה בנקודה A ועוברת דרך נקודה B: .

לקרן אין סוף.

בנוסף, יש את קטע קו, שהוא גם חלק מקו, אבל יש לו התחלה וסוף מסוימים. קטע הקו מיוצג בדרך כלל באותיות הנקודות המגבילות אותו עם מקף מעליו. לדוגמה, .

לקטע הקו, בניגוד לקרן, יש סוף.

• זָוִית

אם מבינים היטב את המושגים הכוללים קו, קרן וקטע קו, אפשר להבין את רעיון הזווית. האזור בין השורות ייקרא זָוִית בכל פעם שיש שני קווים נפגשים בנקודה הנקראת קודקוד.

זווית היא מפגש של שני קווים בקודקוד.

• סיווג זוויות

לפי מידת הזוויות, ניתן לסווג אותן כ:

• זוית חדה: אם המדידה קטנה מ-90°;

• זווית ישרה: אם המדידה שווה ל-90°;

• זווית קהה: אם המדידה גדולה מ-90° ופחות מ-180°;

• זווית רדודה: אם המדידה שווה ל-180°.

קראו גם: זוויות משלימות ומשלימות - מה המשמעות של כל אחת מהן?

דמויות ונוסחאות של גיאומטריית מישור לחישוב המידות שלהם

הדמויות השטוחות הן הדמויות הגיאומטריות המיוצגות במישור. חלק מהדמויות השטוחות נחקרו לעומק, ויצרו מושגים חשובים, כמו שטח והיקף. בנוסף, לכל אחת מהדמויות יש את המאפיינים שלה שנלמדו.

יחסית לדמות מישורית, השטח הוא המדידה של פני השטח שלו וההיקף הוא אורך קו המתאר של הדמות, כלומר, הסכום של ה אורך מהצדדים שלך. ראה להלן את דמויות המישור העיקריות והנוסחאות לחישוב השטח וההיקף שלהן.

• משולשים

אנחנו יודעים איך משולש הדמות השטוחה ש יש שלושה צדדים. כדי למצוא את ערך השטח שלו, מחשבים את המכפלה של אורך הבסיס, אורך הגובה ונחלק ב-2. היקפו נמצא על ידי הוספת הצדדים.

נוסחאות לחישוב השטח וההיקף של המשולש.

• מַקבִּילִית

אנחנו יודעים איך מַקבִּילִית הדמות השטוחה ש יש ארבע צלעות מקבילות שתיים על שתיים. כדי למצוא את הערך של השטח של מקבילית, פשוט חשב את המכפלה של הבסיס והגובה שלה. היקפו נמצא על ידי הוספת כל הצדדים שלו. מכיוון שהצלעות המקבילות חופפות, הנוסחה לחישוב היקף המקבילית היא סכום הבסיס והצלע האלכסונית כפול 2.

 נוסחאות לחישוב השטח וההיקף של המקבילית.

• מַלבֵּן

המלבן הוא א דמות שטוחה בעלת ארבע צלעות שיש לה כל זוויות ישרות. כדי לחשב את השטח של מלבן, נכפיל את הבסיס בגובה. ערכו של ההיקף שווה לסכום צלעותיו. מכיוון שלדמות זו יש צלעות חופפות שתיים על שתיים, יש נוסחה לחישוב היקפו, שהיא סכום הצלע הארוכה והצלע הארוכה כפול 2.

 נוסחאות לחישוב השטח וההיקף של המלבן.

גם יודע: פולידרון - כל מוצק גיאומטרי שפניו נוצרות על ידי מצולעים

• יהלום

ה יהלום הוא דמות שטוחה שבניגוד לקודמים, יש ארבע צלעות חופפות. כדי לחשב את השטח שלו יש צורך למצוא את אורך שלו אלכסונים, כאשר D מייצג את האלכסון הגדול ו-d את האלכסון הקטן. מכיוון שכל הצלעות חופפות, כדי לחשב את היקף המעוין, פשוט מכפילים את אורך הצלע ב-4.

יהלום

• כיכר

ה כיכר הוא מקרה מיוחד של מעוין ומלבן, כי זה יש כל 4 הצלעות חופפות וגם כל הזוויות חופפות. כדי לחשב את השטח שלו, פשוט מכפילים את הבסיס שלו בגובהו. מכיוון שהצלעות חופפות, פשוט חשב את ריבוע הצלע. לפיכך, לדמות זו, כמו לטרפז, יש את כל הצדדים התואמים. לכן, ההיקף שלו מחושב כאשר נכפיל את אורך הצלע ב-4.

נוסחאות לחישוב השטח וההיקף של הריבוע.

• טרַפֵּז

הטרפז הוא א מְרוּבָּע מה יש שתי צלעות מקבילות ושתי צלעות אחרות שאינן מקבילות. כדי לחשב את שטחו, יש צורך לדעת את אורך הבסיס הגדול יותר, הבסיס הקטן יותר והגובה. כדי למצוא את ההיקף שלו, אין נוסחה ספציפית, אשר מחושבת על ידי הוספת הבסיסים שלה לצדדים האלכסוניים.

נוסחאות לחישוב השטח וההיקף של הטרפז.

• היקף ומעגל

• ה הֶקֵף היא הדמות שנוצרת על ידי קבוצת הנקודות שנמצאות באותו מרחק (r) מנקודה המכונה מרכז.

• המעגל הוא האזור התחום על ידי ההיקף.

כדי לחשב את השטח ו אורך עיגול, אנו משתמשים בנוסחאות הבאות:

נוסחאות לחישוב שטח ואורך המעגל.

ההבדל בין גיאומטריית מישור לגיאומטריה מרחבית

כפי שראינו, גיאומטריית מישור היא מחקר של דמויות ואובייקטים גיאומטריים במישור. היא מוגבלת, אם כן, לשני מימדים. בו לומדים דמויות מישוריות כמו הריבוע, המלבן והמשולש. כְּבָר גיאומטריה מרחבית חוקרת אלמנטים ביקום תלת מימדי. לאחר מכן, למדנו את מוצקים גיאומטריים, שהם הקובייה, ה פירמידות, הכדור, בין היתר. גיאומטריית מישור היא הבסיס לחקר הגיאומטריה המרחבית.

גישה גם: הבדל בין היקף, עיגול וכדור - עצות לא להשתבש שוב

פתרו תרגילים על גיאומטריית מישור

שאלה 1

רוחב מגרש כדורגל 70 מטר ואורך 110 מטר. אם במהלך החימום ספורטאי ישלים 10 הקפות במגרש זה, הוא יצעד בסך הכל:

א) 180 מטר

ב) 360 מטר

ג) 1800 מטר

ד) 3600 מטר

ה) 7200 מטר

פתרון הבעיה:

חלופה D

ראשית, נחשב את ההיקף של חלקה זו:

P = 2 (70 + 110)

P = 2 · 180

P = 360

כשהוא השלים 10 הקפות אז:

360 · 10 = 3600 מטר

שאלה 2

לריבוע צורה מעגלית, ברדיוס של 8 מטרים. באמצעות π = 3, השטח של הריבוע הזה הוא:

א) 158 מ"ר

ב) 163 מ"ר

ג) 192 מ"ר

ד) 210 מ"ר

ה) 250 מ"ר

פתרון הבעיה:

חלופה C

בחישוב השטח, יש לנו:

A = πr²

A = 3 · 8²

A = 3 · 64

A = 192 מ"ר